Переходные процессы в линейных электрических целях с сосредоточенными параметрами

 

Расчет переходных процессов классическим методом в цепях первого порядка

 

I Задача 6.1.

Рассчитать переходные токи во всех ветвях схемы рисунка 6.1 после замыкания выключателя во второй ветви. Дано:

 

 

 

 

 

Запишем уравнения по законам Кирхгофа дня схемы после коммутации

 

Преобразуем систему уравнений Кирхгофа в уравнение относительно единой переменной, например, токе 1_г. Дня этого исключим переменныеi1 и i2.

а дифференциальное уравнение для i2

 

Подобным образом можно получить дифференциальные уравнения д. токов i1, и i3,но в этом нет необходимости, поскольку характеристическое уравнение схемы для всех переменных одинаково.

 

Решение будем искать в виде

Уравнение для свободного режима

 

Характеристическое уравнение имеет

имеет один корень

 

 

Свободные составляющие токов:

 

В установившемся режиме принужденные токи:

 

 

Для определения постоянных интегрирования найдем начальные тначе- кия токов. По первому закону коммутации:. Следовательно. я¹ уравнения для второго тока при t = О имеем 0 = B + 0,5, откуда В= -0.5А

Начальные значения токов t1/(0) и t2/0) (зависимые начальные условия) определим из уравнений Кирхгофа, записанных для.момента времени t = 0.

 

откуда

 

Определим постоянные интегрирования

 

 

Таким образом, переходные токи:

 

Соответствующие зависимости представлены на рисунке 6,2, А

 

 

 

 

Задача 6.2.

В схеме рисунка 6.3 R1= R2= 40 Ом, R3 = 32 Ом, f = 100 Гц, C=25мкФ. Определить напряжение на конденсаторе после компреции.

 

 

Найдем комплексные амплитуды тока и напряжения на емкости

коммутации:

 

Мгновенное значение напряжения на емкости:. Расчет свободного процесса. Для схемы после коммутации в свободном режиме (рисунок 6.4) определим входное характеристическое сопротивление

 

Z(p)относительно ветви с емкостью и приравняем его нулю.

 

 

 

 

откуда и корень характерического уравнения

 

 

Свободное напряжение на конденсаторе

 

Расчет грину ж лени ого (установившегося) режима:

 

 

Е Н Мгновенное значение напряжения на емкости:

 

Расчет переходного процесса. Напряжение на конденсаторе во время передней о процесса

 

Н Постоянную интегрирования находим из независимого начального ус-сапия. Согласно второму закону коммутации

Следовательно, при t- О;

 

Таким образом, напряжение на конденсаторе во время переходного провеса равно

Задача 6.3.

I Участок ветви с параметрами R₂ = 30 Ом, L= 0,04 Гн неразветвленной чипт(рисунок 6.5) замыкается накоротко. Определить ток на участке цепи с чрамеграми R,= 20 Ом, С = 4 мкф и напряжение на конденсаторе, если

 

 

 

 

Уравнение второго закона Кирхгофа для цепи после коммутации:

 

Решение для искомых величин запишем в виде:

 

Рассчитаем ток и напряжение свободного режима. Уравнение Кирхгофа для свободного режима:

 

Характеристическое уравнение,его корень

 

 

Аналогичное характеристическое уравнение можно получить из выражения для входного характеристического сопротивления схемы в свободно режиме:

 

Свободные составляющие

Рассчитаем ток и напряжение принужденного(установищегося) режима:

 

 

Переходный ток и переходное напряжение на емкости:

 

При

 

Определим напряжение на емкости по коммутации:

 

мгновенное значение напряжения

Следовательно, при

 

Таким образом, -100=A+98sin48.7, откуда А=-173,6B

 

Начальное значение тока найдем для схемы после коммутации из уровнения второго закона Кирхгофа для момента времини t=0:

R1i(0)+uC (0)=e(0),

 

откуда

Следовательно.

 

Откуда B=8.6A.

Таким образом,

 

Задача 6.4.

 

Для схемы рисунка 6.6 определить переходные,тпринужденные и свободны составляющие токов и напряжения на емкости в первый момент после коммутации. Дано:

R1 = R2 =R3= 50Ом,С=200мкФ,Е=150В.

 

Принужденные составляющие:

 

 

Так как источник питания представляет ЭДС постоянного тока, то правнужденного составляющие от времини не зависят, т.с.

 

Токи и напряжение на емкости до коммутации

 

 

После коммутации для момента времиниt=0 соответствии со вторым законом коммутации ток ток определим из уровнение второго закона Кирхгофа:

 

ток через емкость

Свободные составляющие:

Задача6.5.

В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке 6.7. замыкается выключатель. Определить напряжение во время переходного процесса, если

Рисунок 6.7

Определим входное характеристическое сопротивление схемы в свободном режиме и привравняем его нулю:

 

 

Откуда и характеристическое уравнение

Корень уровнения

Следовательно Так как ,то

Для схемы рисунка 6.7 второй обобщенный закон коммутации имеет вид:

где - напряжение на параллельно включенных емкостях после коммутации при

Определим напряжение

Определим постоянную интегрирования:

Таким образом,

 

График напряжения представлен на рисунке 6.8.

 

Рисунок 6.8

 

6.2. Расчет переходных процессов классическим методом в цепях второго порядка

 

Задача 6.6.

Определить ток i1 в схеме рисунка 6.9 после коммутации, если Е=80В, R1 = R2 = 200Ом,C=40мкФ,L=0,1Гн.

Рисунок 6.9

Переходной ток представлен в виде суммы двух составляющих:

Принужденный ток после оеончания переходного прцесса равен

Для определения свободного тока найдем входное характеристическое сопротивление схемы в свободном режиме относительно точек разрыва первой и приравняем его к нулю

получим характеритическое уравнение

корни которого

Свободная составляющая искомоо тока запишется в виде

Таким образом, ток

Для определения начальных условий запишем уравнения по законам Кирхгофа для схемы после коммутации для момента времини t=0:

 

 

В соответствии с первым законом коммутации поэтому

По второму закону коммутации Следовательно,

Для вычисления постоянных интегрирования необходимо кроме рассчитать Чтобы определить произволную от первого тока, продифференцируем первое и второе уравнения Кирхгофа:

 

 

Откуда

Постоянные интегрирования определим из двух уровнений

 

Искомое решение

 

Задача 6.7.

Рассчитать напряжение на конденсаторе в схеме рисунка 6.10 после коммутации, если U=125B, R=100Oм, L=40мГн, C=5мкФ.

Рисунок 6.10

 

 

Напряжение на конденсаторе находим в виде суммы свободного и принужденной составляющих

 

Для определение свободной составляющей запишем характеристическое входгое сопротивление схемы и приравняем его на нулю

Следовательно, Корни уравнения

 

Корни характеристическогоуравнения образуют комплексносопряженную пару чисел поэтому свободная составляющая напряжения на конденсаторе имеет вид

Принужденное напряжение на конденсаторе равно нулю, так как в становившемся режиме сопртивление индуктивного элемента равно нулю.

Следовательно,

Запишем независимые начальные условия:

Таким образом, для момента времини t=0: т.с. u=Asinx, откудаx=0 и

Так как Это следует из уравнения второго закона Кирхгофа для момента времиниt=0:

Используя зависимость для моментаt=0, второе зависимое начальное условие

Определим производную напряжения на конденсаторе

для момента времини t=0 получим отудаA=125B.

Таким образом,

Задача 6.8.

 

В цепи, представленной на рисунке 6.11, определить напряжение на индуктивности в момент коммутации если

 

Рисунок 6.11

 

 

Напряжение найдем на основании законов коммутации и закона Кирхгофа, составленных для мгновенных значение токов и напряжений для момента времини t=0.

В режиме до коммутаций комплекс амплитудного значения тока

Мгновенное значение тока

Комплекс амплитудного значения напряжения на емкости

B.

Мгновенное значение напряжения на емкости B.

 

После коммутации при t=0 ток i1 и напряжение uC не могут измениться скачком, т.е.

Для схемы после коммутации на основании второго закона Кирхгофа отсюда

отсюда