Логика эпохи возрождения и нового времени.

В ХV-ХVI вв., т.е. в эпоху Возрождения, происходит усиление эмпири­ческих тенденций в логике и методологии научного знания. Идет бурное развитие науки, делаются великие географические открытия, наука сбли­жается с практикой. Вся большую роль в других науках начинает играть математика.

В разработку материалистических основ логики большой вклад внес Фрэнсис Бэкон (1561-1626) — родоначальник английского материализма. Выступая против крайностей рационализма и эмпиризма, Бэкон говорил, что ученый не должен уподобляться ни пауку, ткущему паутину из самого себя, ни муравью, который только собирает и накапливает материал, а должен, подобно пчеле, собирать и перерабатывать материал, преобразуя его в научную теорию,

Ф.Бэкон разработал основы индуктивной логики в своем знаменитом Произведении «Новый органон». Как показывает само заглавие, Бэкон противопоставляет свою логику логике Аристотеля. Его «Новый органон» должен заменить старый аристотелевский «Органон». Но Бэкон был не­справедлив по отношению к Аристотелю, он не знал подлинного Аристоте­ля, знакомился с его работами в изложении средневековых философов. За­слугой Бэкона является разработка им вопросов научной индукции, целью которой является раскрытие причинных связей между явлениями окружа­ющего мира. Ф.Бэкон разработал методы определения причинной связи между явлениями: метод сходства, метод различия, соединенный метод сходства и различия, метод сопутствующих изменений, метод остатков. Да­лее, в XIX в., разработка вопросов научной индукции была продолжена Дж.Ст.Миллем и другими логиками.

Французский философ Репс Декарт (1596-1650) сформулировал четыре правила, которыми надо руководствоваться при всяком научном исследо­вании. Его последователи Арпо и Ни коль в 1662 г. написали книгу «Логика, или Искусство мыслить» («Логика Пор-Рояля»), в которой поставили зада­чу освобождения логики Аристотеля от внесенных в нее поздними логика­ми схоластических искажений.

Немецкий ученый и философ И.Кант (1724-1804), автор космогоничес­кой гипотезы происхождения небесных тел (известной в науке под назва­нием гипотеза Канта-Лапласа) различал два типа логики — обычную, фор­мальную, которая изучает формы понятия, суждения и умозаключения, от­влекаясь от их содержания, и трансцендентальную, которая исследует в формах мышления то, что сообщает знанию априорный характер и обус­ловливает возможность всеобщих и необходимых истин. Согласно транс­цендентальной логике, логическое мышление, направленное на предметы опыта, дает достоверное и объективное знание.

Кант считал, что знание выражается в форме суждения. Он различал ана­литические суждения, которые, не давая нового знания, раскрывают в пре­дикате знание, уже заложенное в субъекте (например: «Все тела протяжен­ны»), и синтетические суждения, в которых знание, заключенное в преди­кате, синтезируется со знанием, содержащимся в субъекте (например: «Не­которые тела тяжелы»). В свою очередь, синтетические суждения Кант де­лил на апостериорные, в которых связь субъекта с предикатом основывается на опыте (например: «Некоторые люди чернокожие»), и априорные, в ко­торых эта связь мыслится как предшествующая опыту и даже являющаяся его предпосылкой (например, суждение, выражающее закон причинности: «Все, что случится, имеет причину»).

Априорные синтетические суждения Канта вызвали большую дискус­сию среди логиков и философов, продолжающуюся до сих пор.

Одним из вкладов Канта в логику является отличение им логического осно­вания и логического следствия от реальной причины и реального следствия.

Самый знаменитый представитель немецкой классической филосо­фии — Г. В.Ф.Гегель (1770-1831). Он критиковал Канта, в том числе и по во­просам логики, но его критика осуществлялась с позиций идеалистической диалектики. Логика у Гегеля совпадает с диалектикой. Поэтому, критикуя формальную логику, он отвергает последнюю. Гегель, говоря об отражении в мышлении понятий движения объективного мира, объективный мир по­нимал идеалистически, а именно как инобытие абсолютной идеи. Критику законов формальной логики Гегель дал во второй книге своего труда «На­ука логики» в разделе «Учение о сущности».

Рациональное зерно философии Гегеля — диалектика. Он разрабатывал проблемы диалектики мышления и диалектической логики.

Логика в России

Русские логики, такие, как П.С. Порецкий, Е.Л.Буницкий и многие дру­гие, внесли существенный вклад в развитие логики на уровне мировых ло­гических концепций.

Первый трактат по логике появился в России в X в. Это был перевод фи­лософской главы из «Диалектики» византийского писателя VII в. Иоанна Дамаскина, которая представляла собой изложение работ Аристотеля и его комментариев. Первое систематическое учебное пособие по логике, вклю­чавшее аристотелевскую логику и отдельные идеи Гоббса, было подготов­лено во второй половине XVII в. Тогда же в России начали распространять­ся отдельные идеи математической логики.

В XVIII в. в России появляются оригинальные логические результаты. Первым их добивается Михаил Васильевич Ломоносов (1711-1765), Он вносит существенные изменения в традиционную силлогистику, предлагая свою классификацию умозаключений, отграничивает суждение от грамма­тического предложения и др. Дмитрий Сергеевич Аничков (1733-1788) Структура умозаключения, по Карийскому, такая. Из двух посылок, имеющих структуру (I) и (2), делается заключение (3).

А находится в отношении R к В. (1)

В тождествен с С. (2) (2)

А находится в отношении R кC (3)

Приведем примеры.

Москва находится восточнее Парижа.

Париж — столица Франции.___

Москва находится восточнее столицы Франции.

Самара находится западнее озера Байкал.

Озеро Байкал — самое глубокое озеро мира.

Самара находится западнее самого глубокого озера мира.

Все выводы М.И.Карийский делит на две большие группы; I) выводы, основанные на «сличении субъектов», и 2) выводы, основанные на «сличе­нии предикатов» (при этом смысл терминов «субъект» и «предикат» не сов­падает с соответствующим им традиционным пониманием). Основанием выводов является тождество (или соответственно различие) «субъектов» или «предикатов». К этим двум большим группам, по мнению Карийского, можно отнести все виды умозаключений и, кроме них, еще и гипотезу.

Известный историк логики Н.И.Стяжкин, исследуя логические идеи М.И,Каринского, пришел к выводу, что Каринский стремился охватить своей классификацией все виды умозаключений, встречающиеся в практи­ке мышления. Но поставленная задача оказалась шире, чем принятые Каринским и положенные в основу его теории предпосылки. Она осталась не­решенной.

Леонид Васильевич Рутковский (1859-1920) — автор работы «Основные типы умозаключений» (1888). Если Каринский пытался построить теорию выводов, используя лишь отношение тождества и сводя к нему все другие отношения, то Рутковский считает возможным признать равноправными с отношением тождества и другие отношения, например, отношения сход­ства, сосуществования. Так как существует многообразие отношений, по­этому имеется и многообразие видов логических выводов (т.е. видов умозаключений). Умозаключения делятся им на интенсивные (т.е. рассматрива­емые в логике содержания) и экстенсивные (рассматриваемые в логике

объема).

Рутковский делит все выводы на две основные группы. Первая группа — выводы подлежащих (т.е. выводы по объему) — распадается на три вида:

а) традукцию (выводы сходства, тождества, условной зависимости);

б) индукцию (полную и неполную);

в) дедукцию (гипотетическую и негипотетическую).

Вторая группа выводов — выводы сказуемых (по содержанию) — распа­дается па выводы «продукции» (разделительный силлогизм, выводы о сов­местности, современности предметов и др.), «субдукции» (выводы при классификациях и упорядочении предметов и др.), «эдукции» (отнесение предмета к виду его класса, заключения математической вероятности

и др.).

Аксиома «продукции» такова: «Из того, что предмет имеет признак б, сле­дует, что этот же предмет имеет и признак С, т.к. признак В неизменно сосу­ществует с признаком С»'.

Краткий анализ работ М.И.(Саринского и Л.В.Рутковского показывает, что их оригинальные работы по классификации видов умозаключений спо­собствовали прогрессивному развитию традиционной логики в XIX в.

Оригинальными были идеи казанского логика Николая Александровича Васильева (1880-1940). Его идеи возникли в результате изучения проблем традиционной логики, но их значение оказалось столь большим, что оказа­ло влияние на развитие математической логики. Он вслед за другим русским логиком С.О. Шатуновским высказал идею о неуниверсальности закона ис­ключенного третьего. Если Шатуновский пришел к этой идее в результате тщательного изучения особенностей математического доказательства при­менительно к бесконечным множествам, то Н.А.Васильев — в результате изучения частных суждений, рассматриваемых в традиционной логике. Ос­новными работами Н.А.Васильева являются следующие: «О частных сужде­ниях, о треугольнике противоположностей и о законе исключенного четвер­того» (1910), «Воображаемая (неаристотелева) логика» (1912) и «Логика и металогика». Н.А.Васильев подкреплял свои концепции формальной ана­логией с неевклидовой геометрией Н.И.Лобачевского. Не все современники Васильева оценили его идеи, хотя некоторые из них считали, что он написал «остроумнейшую работу». Логические идеи Васильева можно рассматривать как некоторые предшествующие мысли (развитые далее в конструктивной и интуиционистской логиках) о неприменимости принципа исключенного третьего для бесконечных множеств. Васильев, кроме того, рассматривает условия, при которых представляется возможным оперировать с противоре­чивыми высказываниями внутри непротиворечивой логической системы.

Математическая логика

В XIX в. появляется математическая логика. Немецкий философ Г.В.Лейбниц (1646-1716) — величайший математик и крупнейший фило­соф XVII в. — по праву считается ее основоположником. Лейбниц пытался создать универсальный язык, с помощью которого споры между людьми можно было бы разрешать посредством вычисления. При построении та­кого исчисления Лейбниц исходил из своего «Основного принципа разу­ма», который гласил, что во всех истинных предложениях, общих или част­ных, с необходимостью или случайно предикат содержится в субъекте. Он хотел всякому понятию дать числовую характеристику и установить такие правила оперирования с этими числами, которые позволили бы не только доказывать вообще все истины, доступные логическому доказательству, но и открывать новые. В последнем обстоятельстве он видел особую заслу­гу своей всеобщей характеристики. Лейбниц говорит о ней как о чудесном общем языке, имеющем свой словарь (т.е. характеристические числа, отне­сенные к понятиям) и свою грамматику (правила оперирования с этими числами). Лейбниц хотел построить арифметизированное логическое ис­числение в виде некоторой вычисляющей машины (алгоритма). Однако этого ему сделать не удалось.

В этой концепции Лейбница неприемлемо прежде всего то, что все со­держание наших понятий якобы может быть выражено их характеристиче­скими числами. Несостоятельным было и представление Лейбница о том, что человеческое мышление может быть полностью заменено вычисляю­щей машиной.

Лейбниц полагал, что математику можно свести к логике, а логику счи­тал априорной наукой. Сторонников такого обоснования математики называют логицистами — представителями субъективно-идеалистического направления (считающего первичным сознание человека) в обосновании математики.

Лейбниц является предшественником логицизма в том смысле, что он предложил сведение математики к логике и математизацию логики: постро­ение самой логики как некоторой арифметики или буквенной алгебры. Но Лейбниц был предшественником логицизма и в том, что пытался создать арифметизированное логическое исчисление, о котором мы говорили.

Покажем, как это делал Лейбниц. Возьмем такой категорический сил­логизм:

+70,-30 +10,-3

Всякий мудрый есть благочестивый.

+70,-33 +8,-11

Некоторые мудрые богаты.

+8, -11 +10, -3

Некоторые богатые благочестивы.

Сверху над понятием написан выбранный наудачу правильный (по Лейбницу) набор характеристических чисел для терминов посылок. Ис­тинность общеутвердительного суждения «Все S суть Р» (первая посылка) выражается тем, что обе характеристики субъекта делятся на соответствую­щие характеристики предиката, т.е. 70 (точно, без остатка) делится на 10, а— 33 делится на —3, и числа, стоящие на диагоналях, — взаимно простые, т.е. + 70 и — 3, так же, как— 33 и + 10, взаимно простые числа. Истинность частноутвердительного суждения, по Лейбницу, должна выражаться таким правилом: числа, стоящие на диагоналях, должны быть взаимно простыми, т е. не иметь общих делителей, кроме единицы.

+70,-33 +8,-11

Посылка «Некоторые мудрые богаты» имеет такие числа: т.е. на обеих диагоналях стоят взаимно простые числа.

-33

+70

 

-11

+8

 

И заключение этому правилу также удовлетворяет, ибо на диагоналях стоят взаимно простые числа:

 

+8 -11

 

 

+10 -3

 

 

Истинность общеотрицательного суждения «Ни одно S не есть Р» у Лейбница выражалась тем, что по крайней мере на одной диагонали сто­ят не взаимно простые числа. Истинность частноотрицательного суждения выражалась тем, что по крайней мере одна из характеристик субъекта не де­лится на соответствующую характеристику предиката.

Чтобы воспользоваться исчислением Лейбница, нужно рассуждение об­лечь в форму силлогизма и посмотреть, правильный он или неправильный. Однако построенная Лейбницем система удовлетворяла этому требованию только в применении к правильным, по Аристотелю, построенным силло­гизмам. Автором настоящего учебника доказано, что все 19 правильных, по Аристотелю, модусов силлогизма окажутся правильными и по критерию Лейбница. Но в отношении неправильных модусов категорического силло­гизма Аристотеля дело обстоит по-иному. Всегда можно построит!) такой пример, когда при разных правильных наборах числовых характеристик для посылок получаются разные оценки заключения: в одних случаях оно оказывается истинным, в других — ложным.

Исчисление Лейбница, таким образом, не выдержало проверки, что, ко­нечно, заметил и сам Лейбниц, перешедший в дальнейшем к построению буквенного исчисления по образцу алгебры. Но тоже неудачно.

Однако в этих замыслах Лейбница не все было неверно. Сам по себе ме­тод арифметизации в математической логике играет весьма существенную роль как вспомогательный прием. В нем состоит, например, сущность ме­тода, с помощью которого известный австрийский математик и логик К. Гёдель доказал неосуществимость лейбницевой мечты о создании такой все­общей характеристики, которая позволит заменить все человеческое мыш­ление вычислениями.

Ложной была именно метафизическая идея Лейбница о сведении всего человеческого мышления к некоторому математическому исчислению. Поэтому были ложны и вытекающие из нее следствия.

Интенсивное развитие математическая логика получила в работах Д.Бу­ля, Э.Шредера, С. Джевонса, П.С. Порецкого и других логиков.

Английский логик Джордж Буль (1815-1864) разрабатывал алгебру логи­ки — один из разделов математической логики. Предметом его изучения были классы (как объемы понятий), соотношения между ними и связан­ные с этим операции. Буль переносит на логику законы и правила алгебра­ических действий.

В работе «Исследование законов мысли»¹, которая оказала большое влия­ние на развитие логики, Буль ввел в логику классов в качестве основных опе­раций сложение («+»), умножение («х» или пропуск знака) и вычитание («-»). В исчислении классов сложение соответствует объединению классов, исклю­чая их общую часть, а умножение — пересечению. Вычитание Буль рассматри­вал как действие, противоположное (орроsite) сложению, — отделение части от целого, то, что в естественном языке выражается словом «кроме» (ехсерt).

Буль ввел в свою систему логические равенства, которые он записывал посредством знака «=», соответствующего связке «есть». Суждение «Свети­ла суть солнца и планеты» в виде равенства им записывается так: х = у + z ,, откуда следует, что х — z, = У- Согласно Булю, в логике, как и в алгебре, мож­но переносить члены из одной части равенства в другую с обратным знаком. Буль открыл закон коммутативности для вычитания: х — у = — у + х и закон дистрибутивности умножения относительно вычитания: z {х — у) = zx — zу. Он сформулировал общее правило для вычитания: «Если от равных вычесть равные, то остатки будут равными. Из этого следует, что мы можем склады­вать или вычитать равенства и употреблять правило транспозиции точно так же, как в общей алгебре».

Предметом исследования ученого были также высказывания (в традици­онной логике их называют суждениями), В исчислении высказываний, по Булю, сложение («+») соответствует строгой дизъюнкции, а умножение («х» или пропуск знака) — конъюнкции.

Чтобы высказывание записать в символической форме, Буль составляет логическое равенство. Если какой-либо из терминов высказывания не рас­пределен, он вводит термин V для обозначения класса, неопределенного в некотором отношении. Для того чтобы выразить частноотрицательное суждение, например; «Некоторые люди не являются благоразумными», Буль сначала представляет его в форме: «Некоторые люди являются небла­горазумными», а затем выражает в символах обычным способом.

По Булю, существует три типа символического выражения суждений: Х= V У (только предикат не распределен):

X = У (оба термина — субъект и предикат — распределены);

у Х= V Y (оба термина не распределены).

Диалектика соотношения утверждения и отрицания в понятиях и сужде­ниях у Буля такова: без отрицания не существует утверждения и, наоборот, во всяком утверждении содержится отрицание. Утверждения и отрицания связаны с универсальным классом; «Сознание допускает существование универсума не априори, как факт, не зависящий от опыта, но либо апосте­риори, как дедукцию из опыта, либо гипотетически, как основание воз­можности утвердительного рассуждения».

Различая живой разговорный язык и «язык» символический, Буль под­черкивал, что язык символов — лишь вспомогательное средство для изуче­ния человеческого мышления и его законов.

Немецкий математик Эрнст Шредер (1841-1902) собрал и обобщил ре­зультаты Буля и его ближайших последователей. Он ввел в употребление термин «Logikkalkul» (логическое исчисление), новые по сравнению с Булем символы. В основу исчисления классов он положил не отношение равенст­ва, как это было у Буля, а отношение включения класса в класс, которое обозначал как а Ь. Знак «+» Буль использовал для обозначения объедине­ния классов, исключая их

общую часть, т.е. симметрическую разность (см. рис. 26), а у Шредера знак «+» обозначает объединение классов без ис­ключения их общей части.

Рис. 26.

 

 

Пропуском знака Шредер обозначает операцию пересечения классов, например, аЬ.

Во взглядах Э.Шредера на отрицание можно отметить много интересно­го нового по сравнению со взглядами Буля. Под отрицанием а, класса а Шредер понимает его дополнение до 1'.

Если классов больше двух, то Шредер оперировал с ними по сформули­рованным им правилам. Правило 1: если среди сомножителей некоторого произведения находятся такие, из которых один является отрицанием дру­гого, то произведение «исчезает», т.е. равно 0. Например, аbс * ab cd = 0, так как имеется b и b

Правило 2: если среди членов некоторой суммы находится хотя бы один, который оказывается отрицанием другого, то вся сумма равна 1:

 

a + b + c + a + c + d = 1

 

Значительное внимание Шредер уделил анализу структуры отрицатель­ных суждений. Отрицательную частичку он прилагает к предикату, т.е. вме­сто «А не есть В» он берет «А есть не-В». Так, суждение «Ни один лев не яв­ляется травоядным», если следовать идеям Шредера, надо заменить на суж­дение «Все львы являются нетравоядными».

Класс а_! как отрицание классам Шредер считает очень неопределенным. И в доказательство этой мысли приводит такой пример. Понятие «несражающийся» (в армии) охватывает; саперов, полковых ремесленников, слу­жащих лазарета, врачей, которые относятся к армии, но не сражаются.

Опираясь на законы де Моргана, Шредер проводит анализ языка разго­ворной речи. Выражение с е а₁Ь_] в речи означает, что «каждое с есть не-а И (одновременно) не-b». Для него можно выбрать другое выражение: «Каж­дое с не.есть ни а, ни b». Это конъюнктивное суждение, примером которо­го может быть: «Каждая рыба — не птица и не млекопитающее». Другое суждение: «Никакая рыба не есть птица и млекопитающее» — означает в символическом виде с е (а Ь),, что эквивалентно, на основании правила де Моргана, c a + b Так называемое отрицательное по связке суждение «ни а, ни b не есть с» представляется в виде а + b с .

Шредер формулирует правила (или требования) научной классификации:

1. Между родом и суммой его видов должно быть тождество.

 

2.Все виды должны быть дизъюнктивными, т.е. должны исключать
друг друга и попарно в произведении давать 0.

3.Для расчленения рода на виды должно быть одно основание. Используя отрицание, Шредер показал, как классифицируемый род делится на виды и подвиды.

В логическом исчислении, доведенном до наибольшей простоты, Шре­дер признает три основных действия: сложение (трактуя его как нестрогую дизъюнкцию), умножение и отрицание. Однако вычитание он считает не­безусловно выполнимой операцией.

Автор данного учебника признает вполне приемлемой в логике классов операцию вычитания классов. Но понимает ее принципиально иначе, чем Буль и Шредер. Буль и Шредер считали, что в разности a — bb должно пол­ностью входить в а, если же b > а или а и b — несовместимы, то операция вычитания невыполнима. В отличие от Буля и Шредера мы допускаем воз­можной (т.е. выполнимой) разность всяких двух классов а и Ъ, из которых b может и не быть частью а; в качестве следствий мы учитываем случаи вы­читания, когда классы а и b являются пустыми или универсальными.

Наиболее известные работы английского логика Стенли Джевонса (1835-1882) — «Principles of Science, a Treatise on Logic and Scientific Method» (London, 1874) и «Elementary Lessons in Logic, Deductive and Inductive» (London, 1870).

В качестве логических операций Джевонс признавал конъюнкцию, не­строгую дизъюнкцию и отрицание и не признавал обратных логических операций — вычитания и деления. Классы он обозначал буквами А, В, С..., а их дополнения до универсального класса, обозначаемого 1, или их отри­цания — соответственно курсивными буквами а, Ь, с... О обозначает у него нулевой (пустой) класс; связка в суждении заменяется знаком равенства.

Большое значение Джевонс придавал принципу замещения (или подста­новки), который формулируется им так: если только существует одинако­вость, тождество или сходство, то все, что верно об одной вещи, будет вер­но и о другой. Этот принцип играет важную роль в умозаключении. Для обозначения отношения одинаковости (или тождества) Джевонс упо­требляет знак «=».

Обозначив положительные и отрицательные термины соответственно через А и а, В и Ь, Джевонс записывает закон непротиворечия как Аа = 0. Критерием ложности заключения, по Джевонсу, является наличие в нем

противоречия, т.е. утверждения и отрицания одного и того же положения, что записывается, например, как наличие Аа, ВЬ, АВСа. > Джевонс считал, что утвердительные суждения можно представлять в от­рицательной форме. Но он напрасно категорически заявлял, что имеются сильные основания в пользу того, чтобы употреблять все предложения в их утвердительной форме, а различие (т.е. отрицательные суждения) неспособности быть основанием умозаключения. Джевонс не отрицал, что утверждение «отрицание, сходство и различие, равенство и неравенство представляют пары одинаково основных отношений; но утверждал, что умозаключение возможно только там, где прямо находится или подразумевается утвержде­ние, сходство или равенство, словом, какой-нибудь вид тождества.

Согласно законам диалектики, тождество и различие являются двумя сторонами единого предмета или процесса. Отражение отношений тожде­ства и различия, имеющихся в самих предметах действительного мира, на­ходит, свое выражение и в мышлении, в формах умозаключений. Поэтому отбросить различие, выражающееся в отрицательных суждениях, и все све­сти только к тождеству, выражающемуся в утвердительных суждениях, нельзя, да и нет в этом необходимости. Единство противоположностей — тождества и различия — неразрывно.

Интересны и оригинальны взгляды Джевонса на категорический силло­гизм с двумя отрицательными посылками. Джевонс утверждает, что его принцип умозаключения ясно отличает случаи, когда оно оказывается пра-вильным, от тех случаев, когда оно неправильно. Он приводит пример умо­заключения:

Все, что не металлично, не способно к сильному магнитному влиянию.

Уголь не металличен.

Уголь не способен к сильному магнитному влиянию.

Здесь из двух отрицательных посылок получается истинное отрицатель­ное заключение. Джевонс считает, что там, где возможно подставлять тож­дественное вместо тождественного, допустим вывод заключения из двух отрицательных посылок.

, Джеввнс внес значительный вклад в алгебру логики, особенно в пробле­му отрицания классов и отрицательных суждений.

Следующий этап в развитии математической логики связан с именем русского логика, математика и астронома Платона Сергеевича Порецкого (1846-1907). Его работы существенно обобщают и развивают достижения Буля, Джевонса и Шредера.

Анализируя понятия, Порецкий различает две формы: форму, обладаю­щую данным признаком, обозначаемую буквами а, Ь, с..., и форму, им не обладающую, обозначаемую а„ А,, с, и т.д. Формы совместного обладания или необладания несколькими признаками записывает так: а, аг, Ь, Ь\ (без особого знака между буквами). Современное пересечение классов Порец­кий называет операцией реализирования (умножения), обозначая ее «•», а операцию объединения классов — абстрагированием (сложением), обо­значая ее «?», т.е. знаком вопроса; 0 и 1 обозначают пустой класс и универ­сальный. Порецкий вводит операцию отрицания классов (отрицание а обозначается через а,) — это дополнение к классу а. Для каждого данно­го а его отрицание, т.е. а„ может быть различно. Это определяется избран­ным универсальным классом. Так, если за 1, т.е. универсум, принять англи­чан, а за а класс артистов, то а, означает англичан-не-артистов, но если 1 обозначает класс людей, то а, обозначает людей-не-артистов и т.д.

Заслуга Порецкого в том, что он рассматривал логические операции не только над отдельными логическими классами, но и над логическими ра­венствами. Порецкий считает, что если два класса состоят из одних и тех же предметов, т.е. имеют равные объемы и могут отличаться только формой, то они равны между собой. Соединяя равные классы знаком «=», мы полу­чаем логическое равенство. Равенством логических классов русский логик называет полную их тождественность, т.е. одинаковость их логического со­держания, считая, что все их различие может состоять только в способе их происхождения. Примером такого равенства является закон де Моргана: (т + n)l = ml • и,. Если классы а и Ь равны, то и их отрицания, т.е. классы а, и Ь, также равны. По его мнению, отрицание всякого равенства приводит к новому равенству, тождественному первоначальному.

По мнению Порецкого, операция отрицания неприменима к системам равенств. К соединению двух и более равенств в одно новое равенство при- менимы лишь две логические операции: сложение и умножение отдельных частей равенств, причем предварительно каждое отдельное равенство мо­жет быть в случае надобности заменено его отрицанием.

В созданной им теории логики Порецкий подчеркивал взаимосвязь двух проблем: выведения следствия из заданной системы посылок и нахожде­ния тех посылок, из которых данное логическое равенство может быть по­лучено в качестве следствия. Несколько подробнее остановимся на методе нахождения всех простых следствий изданных посылок, который в теории логики получил название метода Порецкого-Блэйка (его предложил аме­риканский математик Блэйкна основе работы Порецкого).

Простым следствием из данных посылок называется дизъюнкция каких-либо букв или их отрицаний, являющаяся логическим следствием из этих посылок, и притом таким, которое не поглощается никаким более сильным следствием такого же вида. (Мы говорим, что а сильнее Ь, если из а следу­ет Ь, но из Ь не следует а).

Все простые следствия из данных посылок можно получить, выполнив преобразования следующих пяти типов:

привести конъюнкцию посылок к конъюнктивной нормальной форме
(КНФ). КНФ есть конъюнкция из дизъюнкции элементарных высказыва­
ний или их отрицаний, эквивалентная данному выражению, т.е. если есть
импликация, то ее надо заменить на дизъюнкцию по формуле (a-*b=uvb);

произвести все операции «отбрасывания», т.е. члены вида a v x v x
(или а • х • х) можно исключить, так как этот член тождественно истинен;

использовать законы выявления, т.е. формулы

= ахлЬхлаЬ, или ах v Ш = ах v &c v ab;

4) произвести все «поглощения» на основании законов поглощения:
а л (a v Ь) = а и a v (а л Ь) = а;

5) из всех повторяющихся членов оставить только один (на основании
законов идемпотентности).

В результате получится силлогистический многочлен, который будет со­держать все простые следствия изданных посылок, и только простые след-1 См.: Blake A. Canonical Expressions in Boolean Algebra. Chicago, 1938.

ствия. Они интереснее, чем обычные логические следствия, так как зависят от меньшего числа параметров (элементарных высказываний).

Покажем это на конкретном примере. Из данных трех посылок, имею­щих соответственно формы (1) q -> f, (2) р v q и (3)г, требуется вывести все разные (неэквивалентные между собой) формы простых логических след­ствий. Для решения задачи выполним следующие операции:

1. Соединяем посылки знаками конъюнкции и приводим выражение
вКНФ:

(q -»f) л (р v д) л г = ($ vf) л (р v q) л г или в другой записи qfvpq^r.,

2. В полученной КНФ к членам 1 и 3 применяем закон выявления, полу­
чаем

-qf/\pq л г л q.

Затем ко второму и четвертому членам снова применяем этот же закон. У лрд л г л# = y^pq л г лд лр.

3. Произведем операции «поглощения». Первый член (cf) поглощается четвертым (q), поэтому отбрасываем первый член, а второй член (pq) погло­щается пятым членом (р). В результате этого получим

дрлрд л г л q лр = г л q а р.

Вывод: при данных посылках суждения гнр истинны, а суждение q лож­но, т.е. если суждениями выражены некоторые события, то событие г и со­бытие р наступят, а событие q не наступит.

Исследования Порецкого продолжают оказывать стимулирующее влия­ние на развитие алгебраических теорий и в наши дни.

В XX в. математическая логика развивалась в трудах Ч. С. Пирса и ДжЛеано.

Американский логик Чарльз Сандерс Пирс (1839-1914) внес существен­ный вклад в разработку алгебро-логических концепций И явился основопо­ложником новой науки — семиотики (общей теории знаков). В работах Пирса содержится тенденция к расчленению семиотики на прагматику (анализирует отношение знака к его исследователю), семантику (выясняет отношение знака к обозначаемому им объекту) и синтактику (исследует взаимоотношения между знаками).

Пирс пишет о том, что реальное можно'Определить как нечто, свойства которого независимы от того, что о них мыслят. Наиболее общим подраз­делением знаков он считал такие: изображения (icons), индексы (indices) и символы (symbols). Пирс предлагал классификацию знаков и по другим основаниям.

Пирс предложил строить исчисление высказываний лишь на одной операции, этим предвосхитив результаты М.Х.Шеффера (Шеффер также строил исчисление высказываний на одной операции, которая вошла в ис­торию логики под именем ее создателя — штрих Шеффера). Единствен­ной логической операцией Пирс предлагал считать отрицание нестрогой дизъюнкции.

Пирсу принадлежат работа по логике «Studies in Logic» и другие.

Достижения Джузеппе Пеано (1858-1932), итальянского математика, явились переходным звеном от алгебры логики, в том виде, какой ей при­дали Буль, Шредер, Порецкий и Пирс, к современной форме математиче­ской логики. Основные результаты Пеано были опубликованы в пятитом­ном «Формуляре математики»¹.

Пеано ввел следующие, употребляющиеся и ныне символы:

а) «е» — знак принадлежности элемента к классу;

б) «э» — знак включения одного класса в другой класс;

в) «и» — знак объединения классов;

г) «п» — знак для обозначения операции пересечения классов.
Крупным вкладом Пеано в развитие аксиоматического метода явилась

его система из пяти аксиом для арифметики натуральных чисел. На базе своей аксиоматики Пеано строит всю теорию натуральных чисел.

На заключительном этапе своей научной деятельности Пеано приступил к систематическому изложению логики как особой, по его мнению, матема- тической дисциплины.

Далее развитие математической логики осуществлялось по многим на­правлениям, а также в проблемномЧлане. Это было обусловлено необходи­мостью дальнейшего освоения как классической и неклассической Логик, так и возникшими трудностями в обосновании математики.

Краткому освещению основных направлений в современной логике по­священы Последующие разделы данной главы.