Взаимосвязь 2 форм записи уравнения касательной.

Полученное выше уравнение действительно является другой формой того уравнения касательной, которое мы выводили раньше, а именно . Покажем это подробнее.

Пусть явное уравнение кривой. Можно легко свести его к неявному: . Функция это как раз и есть .

Тогда , , значит, уравнение

примет вид: , то есть .

Также можно и наоборот, в уравнении записать производную по формуле . Тогда

из чего следует , что и приводит к уравнению

.

 

Выведем уравнение касательной плоскости к поверхности.

Теперь, когда нам известен вектор нормали к поверхности, а именно, что (градиент расположен именно по нормали), можно воспользоваться тем методом, который применяли в геометрии для вывода уравнения плоскости по точке и нормали. Точка , нормаль .

Это можно записать, используя более короткие обозначения: .

Если взять произвольную точку в касательной плоскости, то вектор ортогонален .

Тогда скалярное произведение векторов и равно 0.

Итак, уравнение касательной плоскости:

.

 

Формула Тейлора.

Согласно уравнению касательной, ординату точки на касательной можно записать так: , то есть . Как можно сразу заметить, в точке она совпадает со значением функции, то есть . Чем дальше удаляемся от точки , тем разнность между ординатой точки на касательной и точки на графике становится больше. Обозначим эту разность через :

. Так как она стремится к 0 при , то можно сказать, что является бесконечно малой в . Вот эта разность между f и касательной показана жёлтым цветом:

Если изобразить график то он похож на параболу. Как сейчас увидим, это не случайно, там действительно появится 2-я степень. Если выделить главную часть этой бесконейно малой , то она будет, по крайней мере, не 1-го порядка, а более высокого, потому что первая степень полностью учтена в том слагаемом, которое из уравнения касательной. Тейлор доказал, что её главная часть зависит от второй производной, и равна . Касательная даёт очень грубое приближённое значение функции, а с учётом этого слагаемого, получится что мы задаём уже не многочленом 1-й степени, а 2-й степени, то есть более точное приближение, чем это было для касательной.

Если теперь и это слагаемое отнять от f(x), то получится

но это снова бесконечно-малая, из неё снова можно выделить главную часть, которая уже будет 3 порядка. Тогда получится многочлен 3 степени, который ещё точнее задаёт функцию . Если этот процесс продолжить до бесконечности, то получится формула:

А если остановить на n-м шаге, то f будет задана приближённо с помощью многочлена n-й степени.

Погрешность в этом случае можно записать в виде , где .

Если начальная точка, в окрестности которой ищется разложение на степенные функции, это , то

называется формулой Маклорена.

 

Полный вывод формулы Тейлора проводится в курсе комплексного анализа (ТФКП) так как основан на свойствах комплексных функций. Однако мы сейчас можем рассмотреть другую краткую идею доказательства. Продифференцируем равенство

получим

Если при этом обозначить первую производную: то мы бы получили такую запись:

то есть, точно такая же формула Тейлора верна и для производной. Если теперь допустить, что коэффициенты в формуле Тейлора как-либо отличались бы от , то при дифференцировании бы не сократился последний множитель из факториала, то есть для производной формула была бы уже не верна. То есть, тогда она была бы не верна в классе непрерывных функций, потому что для каждой функции сразу нашлась бы такая функция , для которой эта формула была бы не верна.

Уравнение касательной - это самая короткая из формул Тейлора, это самое грубое приближение, где учтена только 1-я степень.

 

Примеры рядов Тейлора некоторых известных функций.

Пример.

Выведем эту формулу.

Рассмотрим несколько производных и затем их значения в точке 0:

...

...

тогда мы и получаем, что: т.е .

Вот как выглядят графики многочленов и экспоненты:

Красным показан график экспоненты, зелёным - касательная, затем и .

Как видно, уже даже для 3 степени погрешность очень мала.

 

Пример.

Выведем эту формулу. Рассмотрим несколько производных и затем их значения в точке 0:

...

...

Далее 4 производная совпадает с и повторение через каждые 4 шага. Подставим эти константы в формулу:

и получим А вот как это всё выглядит на графике:

 

Красным цветом показан график .

Цифрой 2 помечен график функции (в которой включены до второй степени включительно), цифрой 4 - график , далее, кривая, помеченная «6» соответствует , а «8» это . Как видим, чем больше степень, тем на большем промежутке наблюдается почти полное совпадение многочлена с косинусом. Если взять степени до 8-й, то совпадение происходит почти весь период от до .

Формула Тейлора для синуса выводится аналогичным образом.

(подробнее эту и другие функции рассмотрим на практике).