Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Взаимосвязь понятий «дифференцируемость» и «производная».
Теорема. Если f есть функция одной переменной, т.е. , то существует конечная производная в точке функция дифференцируема в точке .
Доказательство. Необходимость. Пусть существует производная в точке, . Докажем, что функция дифференцируема. Если равен числу , то сама эта функция, которая под знаком предела, представима в виде: это число + какая-то бесконечно малая. . Если домножить на то . Здесь обозначим , причём эта более высокого порядка, ведь на уже существующую бесконечно-малую домножается ещё одна, а именно , т.е. порядок возрастает на 1. Получили . Определение дифференцируемости выполняется. Достаточность. Пусть f дифференцируема. Выполняется равенство . Разделим его на : получим . Перейдём к пределу. . Но ведь - бесконечно малая более высокого порядка, то есть там содержится не в первой, а какой-то более высокой степени. Тогда . Осталось . Заодно доказали, что константа А в этом равенстве - это и есть производная в точке, то есть . Замечание. В одном из прошлых примеров, а именно , элемент это и есть та самая бесконечно малая более высокого порядка . Здесь она содержит 2 и 3 степени, и как видно, даже после деления на она станет , то есть содержит в каждом слагаемом хоть какие-то степени от , и поэтому стремится к 0. Лекция № 12. 25. 11. 2016 Основные правила дифференцирования. Сумма и разность: . Произведение: . Частное: . Композиция: .
Запомнить можно так: для произведения между и знак плюс, а для частного минус. Но в формуле частного есть ещё лишнее v2 в знаменателе. Почему же производная произведения это не просто ? И откуда появляется ещё и v2 в знаменателе для частного? Эти формулы вовсе не являются очевидными. Сейчас докажем формулы для произведения и частного. Доказательство формулы . Запишем производную по определению. Но тут есть сдвиг на и по u, и по v. Добавим и вычтем такое слагаемое, в котором сдвиг по одной функции есть, а по второй нет: теперь слагаемых стало 4, но зато их можно сгруппировать по два, и даже разбить на две дроби, так, что дельта прибавляется только на одном из мест. Теперь можно вынести тот множитель, который одинаков в каждой разности: Видно, то, что осталось в дробях, это и есть производные для u или v соответственно, т.е. в итоге:
. Итак, . Докажем формулу . Запишем по определению: . В том выражении, которое есть в числителе, приведём к общему знаменателю.
= = = . Аналогично как в прошлом случае, добавим и вычтем слагаемое, чтобы получилось 4 слагаемых а не два, и чтобы в каждой паре был сдвиг только по одной из функций. Можно для этой цели прибавить и отнять, например, . = Если во втором пределе переставить два слагаемых и при этом, конечно, добавить знак минус, то часть, содержащая дельта-икс, получится раньше, что и приведёт к записи точь в точь, как в определении производной для v. = = .
С помощью правил дифференцирования решим несколько примеров. Пример. Найти производную тангенса (мы фактически докажем одну из формул таблицы интегралов). = = = = = . Итак, = . Пример. Найти . Примерим формулу дифференцирования композиции. = = .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 224; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 174.129.59.198 (0.01 с.) |