Проекции прямых линий частного положения

Прямые частного положения параллельны или перпендикулярны какой-либо плоскости проекций.

Прямые параллельные одной плоскости проекций называются прямыми уровня.

Прямые перпендикулярные какой-либо плоскости проекций, т.е. параллельны двум другим, называются проецирующими прямыми.

Рассмотрим прямые уровня.

1. Прямые параллельные плоскости p₁ называются горизонталями (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Горизонталь.

Все точки горизонтали одинаково удалены от плоскости p₁, т.е. z _A = z _B = const. На эпюре A ₂ B ₂ || x ₁₂ – фронтальная проекция горизонтали параллельна оси х, A ₃ B ₃ || y ₁₂ – профильная проекция горизонтали параллельна оси у.

На плоскость p₁ горизонталь проецируется без искажения, т.е. горизонтальная проекция горизонтали A ₁ B ₁ является натуральной величиной. Углы наклона горизонтали к плоскостям p₂ и p₃ проецируются без искажения (Ða и Ðb).

2. Прямые параллельные плоскости p₂ называются фронталями (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Фронталь.

Все точки фронтали одинаково удалены от плоскости p₂, т.е. у _A = у _B = const. Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси х ₁₂ (A ₁ B ₁ || x ₁₂), профильная параллельна оси z (A ₃ B ₃ || z ₂₃). На плоскость p₂ фронталь проецируется без искажения, т.е. фронтальная проекция фронтали A ₂ B ₂ является натуральной величиной, углы наклона фронтали к плоскостям p₁ и p₃ проецируются без искажения (Ðj и Ðb).

3. Прямые параллельные плоскости p₃ называются профильными (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Профильная прямая.

Все точки профильной прямой одинаково удалены от плоскости p₃, т.е. х _A = х _B = const. Горизонтальная и фронтальная проекции профильной прямой перпендикулярны оси х ₁₂ (или параллельны соответственно осям у и z).

На плоскость p₃ профильная проекция проецируется без искажения, т.е. профильная проекция профильной прямой A ₃ B ₃ является натуральной величиной. Углы наклона прямой AB к плоскостям p₁ и p₂ проецируются без искажения (Ðj и Ða).

Таким образом, прямые линии уровня проецируются без искажения на ту плоскость проекций, которая прямая параллельна.

Рассмотрим проецирующие прямые (рис. 3.6 - 3.8).

Рис. 3.6. Горизонтально проецирующая прямая.

Рис. 3.7. Фронтально проецирующая прямая.

Рис. 3.8. Профильно проецирующая прямая.

Для проецирующих прямых характерно, что проекция прямой на ту плоскость, которой прямая перпендикулярна, обращается в точку. Две другие проекции проецирующих прямых перпендикулярны осям. Проецирующие прямые называются горизонтально проецирующая (^ p₁), рис. 3.6; фронтально проецирующая (^ p₂), рис. 3.7; профильно проецирующая (^ p₃), рис. 3.8.

 

 

3.3 Определение длины отрезка прямой и углов ее наклона.
к плоскостям проекций
(способ прямоугольного треугольника)

Прямая линия общего положения составляет с плоскостями проекций произвольные углы. Отрезок прямой общего положения проецируется на плоскости проекций с искажениями. Рассмотрим задачу на определение длины отрезка прямой и углов ее наклона к плоскостям проекций.

В пространстве отрезок АВ прямой общего положения отнесенный к двум плоскостям проекций представляет собой гипотезу двух прямоугольных треугольников АВС и АВD (рис. 3.9а).

Одним катетом треугольников является одна из проекций отрезка, другим разность недостающих координат. Угол между гипотенузой (отрезком АВ) и катетом (проекцией) есть угол наклона прямой к соответствующей плоскости проекций.

В треугольнике АВС катет АС = А ₁ В ₁, катет ВС = r z _AB, Ða – угол наклона отрезка АВ к плоскости p₁. r z _AB = (z _A - z _B) – разность координат точек А и В до плоскости p₁.

В треугольнике АВD катет BD = А ₂ В ₂, катет AD = r y _AB, Ðb – угол наклона отрезка АВ к плоскости p₂. r y _AB = (y _A - y _B) – разность координат точек А и В до плоскости p₂. На эпюре (рис. 3.9б) легко построить треугольники равные рассмотренным.

Рис. 3.9а. Отрезок в пространстве.

рис3.9б. Определение длины отрезка прямой и углов ее наклона к плоскостям проекций.

Например, к проекции А ₁ В ₁, как к катету прямоугольного треугольника, достраиваем от любой из точек (в нашем случае В ₁), второй катет, равный разности недостающих координат точек отрезка В ₁ В ₀ = r z _AB. Разность координат z точек А и В измеряется на фронтальной проекции. Гипотенуза А ₁ В ₀ прямоугольного треугольника А ₁ В ₁ В ₀ является натуральной величиной отрезка АВ, а угол a между проекцией и гипотенузой – это угол наклона отрезка прямой к плоскости p₁.

Аналогичные построения выполним на фронтальной проекции для определения угла наклона к плоскости p₂.

 

 

Следы прямой

Точка пересечения прямой с плоскостью проекций называется следом прямой. Рассмотрим прямую а общего положения и построим ее следы (рис. 3.10).

Горизонтальный след прямой – это точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций p₁. Горизонтальный след обозначается М (М ₁, М ₂, М ₃).

Фронтальный след прямой – это точка ее пересечения с фронтальной плоскостью проекций p₂. Фронтальный след обозначается N (N ₁, N ₂, N ₃).

Профильный след прямой – это точка ее пересечения с профильной плоскостью проекций p₃. Профильный след обозначается Р (Р ₁, Р ₂, Р ₃).

Следы прямой – это точки частного положения, принадлежащие какой-либо плоскости проекций. Одна из координат = 0.

 

M Ì p1	=>	z M = 0	M2 º x12	M 1 º M
N Ì p2	=>	y N = 0	N1 º x12	N 2 º N
P Ì p3	=>	x P = 0	P X º y	P º P

рис 3.10. Следы прямой.

Из этого следуют правила построения следов:

1. Для построения проекций горизонтального следа необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью х (определяется проекция М ₂) и из этой точки восставить перпендикуляр к оси х до пересечения с горизонтальной проекцией прямой (определяется проекция М ₁ º М).

2. Для построения проекций фронтального следа необходимо продолжить ее горизонтальную проекцию до пересечения с осью х (определяется точка N ₁) и из этой точки восставить перпендикуляр к оси х до пересечения с фронтальной проекцией прямой (определяется точка N ₂ º N).

3. Для построения проекций профильного следа необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью z (определяется точка Р ₂) и из этой точки восставить перпендикуляр к оси z до пересечения с профильной проекцией прямой (определяется точка P ₃ º P). Горизонтальная проекция Р ₁ определяется пересечением горизонтальной проекции прямой с осью у.