Численные методы решения систем нелинейных уравнений.

Требуется решить систему нелинейных уравнений вида:

(3.1)

…

Метод простой итерации (метод Якоби).

Систему нелинейных уравнений (3.1) после преобразований

,

(здесь определяются из условия сходимости), представим в виде:

(3.2)

…

Из системы (3.2) легко получить итерационные формулы метода Якоби. Возьмем в качестве начального приближения какую-нибудь совокупность чисел . Подставляя их в правую часть (3.2) вместо переменных , получим новое приближение к решению исходной системы:

(3.3)

…

Эта операция получения первого приближения решения системы уравнения (3.2) называется первым шагом итерации. Подставляя полученное решение в правую часть уравнения (3.2) получим следующее итерационное приближение: и т.д.:

, . (3.4)

Итерационный процесс можно считать законченным, если все значения переменных, полученных ()-ой итерации, отличается от значений соответствующих переменных, полученных от предыдущей итерации, по модулю меньше наперед заданной точности , т.е. если:

(3.5)

Метод Зейделя.

Метод Зейделя отличается от метода Якоби тем, что вычисления ведутся не по формулам (3.4), а по следующим формулам:

(3.6)

…

При решении систем нелинейных уравнений необходимо определить приемлемое начальное приближение. Для случая двух уравнений с двумя неизвестными начальное приближение находится графически.

Сходимость метода Зейделя (Якоби тоже) зависит от вида функции в (3.2), вернее она зависит от матрицы, составленной из частных производных:

, (3.7)

где .

Итерационный процесс сходится, если сумма модулей каждой строки меньше единицы в некоторой окрестности корня:

,

или

Пример 3.1. Найти решение системы методом Зейделя с точностью :

(3.8)

Решение: Представим (3.8) в виде (3.5):

(3.9)

Задаем начальные приближения , .

Запишем достаточное условие сходимости и определяем , :

и

Определяем частныезначения , ,которые удовлетворяют неравенствам

и

Переходим к реализации итерационного процесса:

 

Определяем погрешностьпо формуле :

Таким образом, имеем решение: , .

Программа, реализующая решение данной задачи, представлена на рис. 3.1.

CLS

INPUT X,Y, M1,M2

1 X=X-(2*SIN(X+1)-Y - 0.5)/M1

Y=Y-(10*COS(Y-1)-X+0.4)/M2

PRINT X,Y

INPUT TT

GOTO 1

END

Рис. 3.1. Программа решения системы нелинейных уравнений методом Зейделя.

 

Метод Ньютона.

Основная идея метода Ньютона состоит в выделении из уравнений системы линейных частей, которые являются главными при малых приращениях аргументов. Это позволяет свести исходную задачу к решению последовательности систем линейных уравнений.

Рассмотрим систему двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными вида:

(3.10)

Пусть известно некоторое приближение , корня , . Тогда поправки , можно найти, решая систему:

(3.11)

Для этого разложим функции , в ряд Тейлора по , . Сохранив только линейные по , части, получим систему линейных уравнений

(3.12)

относительно неизвестных поправок , и . Решая эту систему линейных уравнений, определяем значения , .

Таким образом, решение системы уравнений по методу Ньютона состоит в построении итерационной последовательности:

(3.13)

где , - решения систем линейных уравнений, вида (3.12) на каждом шаге итерации.

В методе Ньютона для обеспечения хорошей сходимости также важен правильный выбор начального приближения.

Пример 3.2. Найти решение системы (3.8) методом Ньютона с точностью .

(3.13)

Решение. Начальные приближения , . Определим частные производные:

;

и, используя (3.12), построим систему линейных уравнений относительно поправок

Подставляя начальные приближения , и решая систему линейных уравнений

,

определяем поправки на первом шаге итерации

,

Далее начальное приближение уточняем по формулам (3.13)

Подставляя результаты первой итерации , и решая систему линейных уравнений

,

определяем поправки на втором шаге итерации

,

Далее и уточняем по формулам (3.12)

Определяем погрешностьпо формуле :

Таким образом, имеем решение: , .

Программа, реализующая метод Ньютона для указанной задачи, представлена на рис. 3.2.

 

INPUT X, Y 1 F = 2*SIN(X+1)-Y - 0.5 G = 10*COS(Y-1)-X+0.4 Fx =2*COS(X+1) Fy =-1 Gx =-1 Gy =-10*SIN(Y-1) D = Fx*Gy - Gx*Fy DX=(G*Fy-F*Gy)/D DY=(F*Gx-G*Fx)/D X =X+DX Y =Y+DY PRINT X;Y; F;G;DX;DY; INPUT TT GOTO 1 END

Рис. 3.2. Программа, реализующая метод Ньютона.

 

 

Пример 3.3. Найти решение системы (3.8) с помощью программы Excel.

Порядок решения.

1) Подключить надстройку «Поиск решения» через Главное меню-Сервис-Надстройки (рис. 3.3);

2) Ввести в ячейки A1, B1, C1, D1 заголовки столбцов (рис. 3.4а);

3) В ячейку A2 – начальное приближение для :

4) В ячейку B2 – начальное приближение для :

5) В ячейку C2 – формулу =2*SIN(A2+1)-B2-0,5

6) В ячейку D2 – формулу =10*COS(B2-1)-A2+0,4

7) Вызвать диалоговое окно «Поиск решения»: Главное меню-Сервис-Поиск решения (рис. 3.5)

8) В качестве целевой ячейки указываем результат вычисления левой части одного из уравнений, например, , т.е. ячейку C2

9) Для решения уравнения значение , поэтому выбираем переключатель «значение», а в соответствующее поле вводим 0

10) Установив курсор в поле «Изменяя ячейки», выделяем ячейки незвестных , , т.е. A2: B2

11) Остальные уравнения системы рассматриваются как дополнительные ограничения (). Нажимаем кнопку «Добавить», отмечаем мышью ячейку D2 и вводим =0

12) Нажимаем кнопку «Выполнить». Если решение найдено, появляется окно сообщения (рис. 3.6). Нажимаем кнопку ОК.

13) В ячейках A2: B2 - решение системы (рис. 3.4б), т.е ,

		а)     б)
Рис. 3.3. Подключения надстройки «Поиск решения».		Рис. 3.4. Рабочий лист до и после выполнения поиска решения.

Рис. 3.5. Параметры окна «Поиск решения».

Рис. 3.6. Сообщение о завершении поиска решения.

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Калиткин Н.П. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

2. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с.

3. Васильев А.Н. Научные вычисления в Microsoft Excel. М.: Издательский дом "Вильямс", 2004. – 512 с.

4. Ларсен У.Р. Инженерные расчеты в Excel. М.: Издательский дом "Вильямс", 2004. – 544 с.

5. Попов В.И. Численные методы расчета мостовых конструкций на ЭВМ. М.: 1981. – 78 с.

6. Ф.Г.Ахмадиев, Ф.Г.Габбасов, И.Н.Гатауллин, Р.Ф.Гиззятов, Р.И.Ибятов, Х.Г.Киямов. Методические указания к лабораторным работам по курсу «Информатика» для всех специальностей. Численные методы. Часть 1. КГАСУ, 2008г., 34с.

7. Ф.Г.Ахмадиев, Ф.Г.Габбасов, И.Н.Гатауллин, Р.Ф.Гиззятов, Р.И.Ибятов, Х.Г.Киямов. Методические указания к лабораторным работам по курсу «Информатика» для всех специальностей. Численные методы. Часть 2. КГАСУ, 2008г., 35с.