Представление цифровых данны

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦИФРОВЫХ ДАННЫ

В ЦВМ

Учебно-практическое пособие

Санкт-Петербург

С о с т а в и т е л и: к.т.н., доцент А.А Ключарёв.

к.т.н., доцент О.В Мишура.

старший преподаватель С.Г Марковский.

 

 

Р е ц е н з е н т: кафедра менеджмента науки и образования СПб.ГУАП;

к.т.н., доцент А.Г.Степанов

 

В пособии рассматриваются способы представления информации в цифровых вычислительных машинах, позиционные системы, основы машинной арифметики. Изложение материала сопровождается примерами. Включённые в пособие методические материалы по выполнению соответствующей лабораторной работы и пример её выполнения позволяют студенту самостоятельно изучить соответствующий раздел курса.

Пособие рекомендуется студентам специальности 2204 “Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем” при изучении курса «Информатика», студентам специальности 0611 «Менеджмент» и направления 5515 при изучении курса «Электронно-вычислительные машины и вычислительные сети»

Подготовлено к публикации кафедрами «Программного обеспечения вычислительных систем» и «Вычислительных машин и комплексов.»

Позиционные системы счисления

Выполнение любых вычислений базируется на определенной форме представления чисел. Это определяется принятой системой счисления - совокупностью символов и правил для представления чисел. Символы называются цифрами данной системы счисления. Системы счисления могут быть позиционными и непозиционными.

Непозиционной системой называется такая, в которой значение символа не зависит от его места расположения в числе. Для образования числа в непозиционной системе счисления используются операции арифметического сложения и вычитания. Примером непозиционной системы счисления является римская:

XVI=X+V+I=10+5+1=16₁₀

IX=X-I=10-1=9₁₀

В позиционной системе счисления значение каждого символа-цифры зависит от его места расположения в числе. Справедливо следующее представление числа в позиционной системе счисления:

x(q) = a _n-1 q ^n-1 + a _n-2 q ^n-2+ ... + a ₁q¹ + a₀q⁰ + a_-1q^-1 +...+a_mq^m

где:

x(q) - число в системе счисления с основанием q;

a _i - цифра i-ого разряда в числе;

n - количество целых разрядов числа;

m - количество дробных разрядов числа.

Под основанием системы счисления q, с одной стороны, понимают количество различных цифр, ее образующее, а с другой стороны - число, показывающее во сколько раз вес цифры данного разряда меньше веса соседнего старшего разряда.

Очевидно, что используемая система счисления определяет набор правил (алгоритмов) выполнения операций над числами. Поэтому важное значение имеет правильное представление чисел и преобразование чисел в различных системах счисления.

Наибольшее распространение в вычислительной технике имеют системы счисления с основаниями 2,8,16 - двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.

 

Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Здесь различают три ситуации при переводе чисел:

- перевод числа из десятичной системы в систему с любым основанием;

- перевод числа из системы с любым основанием в десятичную;

- перевод числа из системы с основанием q1 в систему с основанием q2.

?

?

Правила, используемые для перевода целых и дробных чисел различны.

Для перевода целого числа из десятичной системы счисления в систему с основанием q, число нужно последовательно делить на основание q до тех пор, пока не будет получена целая часть частного, равная 0, то есть будет получен остаток от деления, меньший q. Число в системе счисления с основанием q записывается в виде упорядоченной последовательности остатков от деления в порядке, обратном получению остатков, то есть старшей цифрой числа будет последний остаток.

При переводе числа в шестнадцатеричную систему счисления необходимо помнить, что шестнадцатеричные числа представляются символами 1, 2,..., 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15).

Для перевода правильной дроби из десятичной системы счисления в систему с основанием q число нужно последовательно умножать на основание q (причем умножению подвергаются только дробные части) до тех пор, пока не будет обеспечена заданная точность представления числа. Дробь в системе счисления с основанием q записывается в виде упорядоченной последовательности целых частей произведений в порядке их получения. Если требуемая точность перевода q, то число указанных последовательных произведений (то есть цифр в представлении дроби) равно k+1. По (k+1)-ой цифре производится округление k-той цифры.

 

Пример: перевести число 95₁₀ в следующие системы счисления:

а) двоичную:

1
направление записи числа
Ответ:9510 = 10111112

 

 

б) восьмеричную:

Ответ:9510 = 1378

в) шестнадцатеричную:

F
Ответ:9510 = 5F16

 

Если на некотором шаге получения произведений дробная часть числа становится равной 0, то процесс преобразования на этом заканчивается, так как все остальные цифры в представление дроби будут равны 0.

Пример: перевести число 0.95 в следующие системы счисления, с точностью представления 2, 8, 16, соответственно:

а) двоичную СС: б) восьмеричную СС: в) шестнадцатеричную СС:

						F

 

Ответ: 0.95₁₀ = 0.111101₂ = 0.75₈ = 0.F3₁₆

При переводе неправильной дроби из десятичной системы счисления в систему с основанием q отдельно переводится целая и дробная части числа.

Пример: перевести число 123.58 в восьмеричную систему счисления.

123.58₁₀ =123₁₀ + 0.58₁₀ = 173₈ + 0.45₈ = 173.45₈

Для перевода числа из системы счисления с основанием q в десятичную пользуются формулой разложения в ряд (1). Выражение (1) справедливо как для целых, так и для дробных чисел.

 

Пример: представить числа: а)111011.011, б)154.31, в)А2В.3С в десятичной системе счисления.

 

111011.011₂ = 1*2⁵ +1*2⁴ +1*2³ +0*2² +1*2¹ +1*2⁰ +0*2^-1 +1*2^-2 +1*2^-3 =

=32 +16+8+2+1+1/4+1/8=59.375₁₀

154.31₈ = 1*8² +5*8¹ +4*8⁰ +3*8^-1 +1*8^-2 = 64+ 40+ 4+ 3/8+ 1/64 =

=108.390625₁₀

А2В.3С₁₆ = А*16² +2*16¹ +В*16⁰ +3*16^-1 +С*16^-2 = 3840+32+11+3/16+12/256 = 3883.234375₁₀

При переводе чисел из системы счисления с основанием q1 в систему с основанием q2 выполняется промежуточное преобразование в десятичную систему.

 

Таблица 1

Восьмеричное число	Триада

 

Таблица 2

Шестнадцатеричное число	Тетрада
A
B
C
D
E
F

 

Для перевода двоичного числа в восьмеричную (шестнадцатеричную) систему счисления число разбивается на триады (тетрады) двоичных цифр. Причем для целого числа триады (тетрады) находятся, начиная с младшего разряда, двигаясь влево к старшему разряду. Если старшая триада (тетрада) не получается из-за нехватки цифр, то слева к числу приписывается нужное количество нулей. Для дробного числа триады (тетрады) находятся, начиная со старшего разряда, двигаясь вправо к младшему. Если количество разрядов не кратно трём (четырем), то справа приписывается нужное количество нулей. Далее каждой триаде (тетраде) ставится в соответствие восьмеричная (шестнадцатеричная) цифра.

При обратном переводе вместо каждой восьмеричной (шестнадцатеричной) цифры записывается эквивалентная ей триада (тетрада) двоичных. Положение запятой между целой и дробной частями числа сохраняется. Нули слева от целой части и справа от дробной части опускаются.

 

Примеры:

а)	1101110011.01101012	=				011.			=	1563.3248
б)	2076.3058 =				6,				=	10000111110,0110001012
					110,

 

в)	11011011110100.10110011012=				0100,				=
				F		B

= 36F4.B34₁₆

г) A2E.С1D₁₆ = 101000101110.110000011101₂

 

 

2. Формы представления чисел в ЦВМ

 

В памяти ЦВМ числовая информация может быть представлена в различных формах.

В случае с фиксированной запятой для всех чисел, над которыми выполняются операции, положение запятой строго зафиксировано между целой и дробной частями числа.

Обычно в ЦВМ используются два способа расположения запятой:

перед старшим разрядом, то есть целая часть числа равна нулю, и в операциях участвуют правильные дроби;

после младшего разряда, то есть дробная часть числа равна нулю, и в операциях участвуют только целые числа.

 

Разрядная сетка с указанием номера разряда и его веса для дробного числа имеет вид:

	2^-1	2^-2	2^-3		2^-(n-1)	2^-n
				...	n-1	n
Знак	цифровая часть числа

Разрядная сетка для целого числа имеет вид:

 

2^n-1	2^n-2				2^1	2^0
n	n-1	…	…	…
знак	цифровая часть числа

 

Если целые числа представляются без знака, то диапазон их представления в заданной разрядной сетке может быть увеличен за счет использования разряда, отводимого под знак числа.

Число с фиксированной запятой представляется следующим образом:

 

[Х]ф.з.=Х*Км, (2)

 

где: [Х]ф.з.- машинное представление числа с фиксированной запятой;

Х - исходное число,

Км - масштабный коэффициент, который выбирается из условий конкретной разрядной сетки и не должен допускать выхода исходных чисел и результатов вычислений за пределы допустимого диапазона.

Масштабный коэффициент должен быть единым для всех обрабатываемых в машине чисел и получаемых результатов, он хранится отдельно от представляемых чисел и учитывается при выдаче конечного результата.

Число в форме с фиксированной запятой должно удовлетворять следующему неравенству:

 

[X]ф.з.min £ [X]ф.з. £ [X]ф.з.max (3)

 

Если нарушена левая часть неравенства, то имеем машинный ноль; если нарушена правая часть неравенства, то произошло переполнение разрядной сетки.

Представление чисел в форме с плавающей запятой позволяет избежать масштабирования исходных чисел, а также увеличить диапазон и точность представляемых чисел.

Число в нормальной форме имеет вид:

Х = m*q ^p, (4)

 

Где: q- основание СС,

p -целое число - порядок числа Х,

m -мантисса числа.

Полулогарифмической эта форма представления называется потому, что в логарифмической форме представлено не всё число, а только его характеристика q.

Поскольку, изменяя одновременно определённым образом мантиссу и порядок числа Х, можно по выражению (4) получить любое количество представлений числа Х, то на мантиссу m накладывается следующее ограничение, чтобы избежать неоднозначности в представлении чисел

q ^-1 £ I mI £ 1. (5)

 

Если для числа Х в форме с плавающей запятой выполнены условия (5), то число Х называется нормализованным, мантисса представляется правильной дробью, а ее старший разряд с основанием q отличен от 0.

Для двоичной СС неравенство (5) имеет вид:

 

0.100...0 £ lml £ 0.11...1. (5')

 

Разрядная сетка для числа с плавающей запятой состоит из двух частей: для порядка и для мантиссы.

 

порядок	мантисса
	m-1	m-2					n
Знак порядка	2 ^m-1	2 ^m-2	2^-0	Знак мантиссы	2^-1	2^-2	2^-n

Мантисса, удовлетворяющая условию (5') называется нормализованной, а операция преобразования ее к виду (5') называется нормализацией.

Чтобы нормализовать мантиссу, ее нужно сдвигать вправо для целого числа и влево для дроби на столько разрядов, чтобы целая часть мантиссы была равна нулю, а старший разряд мантиссы был равен 1, после чего к порядку целого числа прибавить (а из порядка дроби вычесть) столько единиц, на сколько разрядов был произведен сдвиг.

Для упрощения операций над порядками чисел с плавающей запятой, порядки представляют целыми положительными числами без знака, используются так называемые смещенные порядки. Чтобы получить смещенный порядок, нужно к исходному порядку p прибавить целое число - смещение М = 2 ^k, где k-число двоичных разрядов, используемых для модуля порядка.

Смещенный порядок

 

Рсм = Р+М (6)

 

всегда является положительным. Для его представления необходимо такое же число разрядов, как и для модуля и знака порядка р.

 

Цель работы.

Изучить формы представления чисел в различных системах счисления и правила выполнения арифметических операций над ними.

 

Порядок выполнения работы.

7.2.1. Сформировать три исходных числа А1, А2, А3 в десятичной системе счисления, согласно табл. 5.

Таблица 5

Варианты исходных чисел

Номер варианта	А1	А2	А3
	цифры	цифры	цифры
1-9	NB	NV	NGR	NV	NGR	10-NV	NB+NGR
10-18	NV*	NV+NB	NGR	NV-9	NGR+3*	NV-9	NGR+7*
19-27	NV+NB*	NB	NGR	NV-18*	NGR+6*	NV-18	NGR

 

Число А1 - трехразрядное, числа А2 и А3 двухразрядные.

В табл.5 приведены следующие обозначения:

· NB - произвольное число, например, месяц рождения;

· NV - номер варианта;

· NGR - последняя цифра номера группы для групп, имеющих четырех и пятизначные номера.

Для групп с трехзначными номерами NGR задается преподавателем.

Примечание: при формировании чисел А1,А2,А3, если в формулах получается двухразрядное число, то нужно просуммировать цифры обоих разрядов для получения одноразрядного числа.

7.2.2. Осуществить перевод числа W=А2,А3 (А2 - целая часть числа W, А3 - дробная), заданного в десятичной СС в системы счисления с основаниями 2,8,16. При переводе дробной части числа задается следующая точность представления:

· для двоичной СС - 6 разрядов после запятой

· для восьмеричной и шестнадцатеричной 2 разряда после запятой.

7.2.3. Выполнить перевод числа А1 в системы счисления с основаниями 8 и 16.

Полученное после перевода число представить в следующем формате (формат с фиксированной запятой):

 

номера разрядов

n-1	n-2 2 1 0
знаковый разряд	разряды цифровой части

 

7.2.4. Перевести число +(-)А1 (положительное и отрицательное) в дополнительный код.

7.2.5. Выполнить над числами А2 и А3 следующие операции:

(А2+А3), (А2-А3), (-А2+А3), (-А2-А3).

Операции выполнять в дополнительном коде в двоичной системе счисления

Числа А2 и А3 представляются в формате с фиксированной запятой. Результат записать в прямом и дополнительном кодах. Результаты перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

Выявить возможные случаи переполнения.

7.2.6. Выполнить над числами А2 и А3 следующие операции:

(А1+А2), (А1-А2), (-А1+А2), (-А1-А2).

Операции выполнять в дополнительном коде в шестнадцатеричной системе счисления.

Числа А1 и А2 - целые беззнаковые числа, представленные в следующем формате:

номера разрядов

n-1 n-2 … 1 0

разряды цифровой части

 

Результаты представить в шестнадцатеричной и двоичной системах.

7.2.7. Выполнить операцию умножения чисел А2 и А3 в двоичной СС (А2 и А3 - целые числа без знака).

7.2.8. Представить число W, определенное в п.3.2 задания в форме с плавающей запятой в двоичной восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Какое количество разрядов в указанных системах счисления необходимо отвести под порядок числа?

7.2.9. Результаты выполнения заданий по п.п. 3.1-3.8 привести в отчете по лабораторной работе.

 

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА

§ Титульный лист.

§ Цель работы.

§ Результаты выполнения индивидуального задания. В отчете должен быть представлен весь порядок выполненных вычислений.

§ Выводы по работе.

 

Литература

 

1. Савельев А.Я. Основы информатики: Учеб. Для вузов.- М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001.- 328 с.

2. Лысиков Б.Г. Арифметические и логические основы цифровых автоматов. - Мн.: Высшая школа, 1980. -336 с.

3. Савельев А.Я. Прикладная теория цифровых автоматов: Учеб.для вузов по спец.ЭВМ.- М: Высш. Шк., 1987.-272 с.

4. Приложение

КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦИФРОВЫХ ДАННЫ

В ЦВМ

Учебно-практическое пособие

Санкт-Петербург

С о с т а в и т е л и: к.т.н., доцент А.А Ключарёв.

к.т.н., доцент О.В Мишура.

старший преподаватель С.Г Марковский.

 

 

Р е ц е н з е н т: кафедра менеджмента науки и образования СПб.ГУАП;

к.т.н., доцент А.Г.Степанов

 

В пособии рассматриваются способы представления информации в цифровых вычислительных машинах, позиционные системы, основы машинной арифметики. Изложение материала сопровождается примерами. Включённые в пособие методические материалы по выполнению соответствующей лабораторной работы и пример её выполнения позволяют студенту самостоятельно изучить соответствующий раздел курса.

Пособие рекомендуется студентам специальности 2204 “Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем” при изучении курса «Информатика», студентам специальности 0611 «Менеджмент» и направления 5515 при изучении курса «Электронно-вычислительные машины и вычислительные сети»

Подготовлено к публикации кафедрами «Программного обеспечения вычислительных систем» и «Вычислительных машин и комплексов.»