Матричная форма записи линейных систем.

РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных

Эта система в "свернутом" виде может быть записана в виде

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде Ах = b, где

Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при соот-ветствующих неизвестных, а строками коэффициенты при неизвест-ных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы;

Матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы.

Матрица-столбец х, элементы которой искомые неизвестные, называется решением системы.

Таким образом, система линейных алгебраических уравнений мо-жет быть записана в матричном виде в виде простейшего матрич-ного уравнения* Ах = b.

Если матрица системы невырождена**, то у нее существует обрат-ная матрица и тогда решение системы легко получить, умножив обе части уравнения Ах = b слева на матрицу

, а поскольку и Ex = x, то .

Порядок выполнения работы

Задание. Решите систему линейных алгебраических уравнений в матричном виде

Указания:

1. Установите режим автоматических вычислений.

2. Введите матрицу системы и матрицу-столбец правых частей.

3. Вычислите решение системы по формуле .

4. Проверьте правильность решения умножением матрицы си-стемы на вектор-столбец решения.

5. Найдите решение системы с помощью функции Isolve и срав-ните результаты вычислений.

Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение си-стемы, при-веден ниже.

Указание. В приведенном документе для сравнения найдено решение системы с использованием функции решения систем линейных алгебраических уравнений lsolve(A, b)

Решите матричное уравнение Ах = b (систему линейных алгебраических уравнений) из индивидуального задания к работе 3.

* Матричным уравнением называется уравнение, коэффициенты и неизвестные которого прямоугольные матрицы соответствующей размерности

** Невырожденной называется матрица, определитель которой отличен от нуля.

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Решение всех задач с комментариями.

Контрольные вопросы

1. К какому типу - прямому или итерационному - относится метод Гаусса?

2. В чем заключается прямой и обратный ход в схеме единственного деления?

3. Как организуется, контроль над вычислениями в прямом и обратном ходе?

4. Как строится итерационная последовательность для нахождения решения системы линейных уравнений?

5. Как формулируется достаточные условия сходимости итерационного процесса?

6. Как эти условия связаны с выбором метрики пространства?

7. В чем отличие итерационного процесса метода Зейделя от аналогичного процесса метода простой итерации?

8. В чем основное отличие точных и приближенных методов решения систем линейных уравнений?

9. В каких случаях предпочтительны итерационные методы решения систем линейных уравнений?

10. От чего зависит скорость сходимости метода итераций?

11. Каким образом в методе Гаусса можно контролировать накопление вычислительных ошибок?

12. К точным или приближенным методам относится метод Крамера?

13. При каком условии будет сходиться метод итераций?

14. Можно ли заранее оценить число итераций для получения решения с заданной погрешностью?

15. Как влияет вычислительная ошибка на точность решения системы уравнений методом итераций?

Литература:

1. Информатика: Базовый курс. Учебник под редакцией С.В.Симановича.

2. Половко А.М., Ганичев И.В. MathCad для студента. – Спб.: БХВ-Петербург, 2006. -336 с.: ил.

3. Ю.Ю.Тарасевич Численные методы на MathCad. – Астраханский гос. Пед. Ун-т: Астрахань,2000.

4. Могилёв, А. В., и др. Информатика: Учеб. Пособие Под. Ред. Хеннера Е. К. М.: Изд. Центр “Академия”,2000. -816с.

5. Ушаков А. Н., Ушакова Н. Ю. Секреты для инженерных и научных расчетов. – Оренбург: ОГУ, 2001. - №--с.

 

Лабораторная работа 6