Теоремы об эквивалентных источниках или генераторах

(Теорема об автономном двухполюснике)

ЛАЭЦ – линейная активная электрическая цепь, содержит линейные

RLC-элементы, источники тока и напряжения с одной и той же частотой.

Теорема 1 (об эквивалентном источнике напряжения): Ток в некоторой ветви, подключенной к ЛАЭЦ, не изменится, если эту ЛАЭЦ заменить эквивалентным источником напряжения, содержащим идеальный источник напряжения с ЭДС, равной напряжению холостого хода активной цепи, и эквивалентное сопротивление, последовательно включенное, равное входному (выходному) сопротивлению пассивизированной активной цепи.

Z ЭИ

Доказательство: Вставим в выделенную ветвь два одинаковых источника напряжения Е _Х, но противоположных направлений. Ток при этом не изменится.

По принципу наложения можно записать:

, где - ток только под действием того же направления(),

- под действием противоположного направления () и источников внутри ЛАЭЦ.

1)в первом случае получим вместо активной цепи пассивизированную цепь (без внутренних источников):

Можем найти

2) Поставим задачу, чтобы .

Мы получили не что иное, как режим холостого хода, где U_{Z k}=0, и U _X= E _X= U _XX.

Итак, мы доказали, что .

У нас .

Теорема 2 (об эквивалентном источнике тока): Ток в некоторой ветви, подключенной к ЛАЭЦ, не изменится, если ЛАЭЦ заменить эквивалентным источником тока, содержащим идеальный источник тока, и параллельно подключенное сопротивление или проводимость; ток идеального источника равен току короткого замыкания ЛАЭЦ; проводимость эквивалентного источника равна входной проводимости пассивизированной ЛАЭЦ.

Как видно это дуальная теорема.

Метод эквивалентного источника напряжения или тока

Применяется по соответствующей теореме, когда надо рассчитать один ток в какой-то одной ветви.

1) Для нахождения ЭДС размыкают ветвь с неизвестным током и находят напряжение , применяя законы Ома, Кирхгофа и т.д., либо накоротко замыкают и рассчитывают ток короткого замыкания.

2) Для нахождения размыкают ветвь и находят , заменяя в ЛАЭЦ идеальные источники напряжения – перемычками, источники тока – разрывом.

3) Находят (или по формуле (1), или по формуле (2)), при расчете учитывается, что имеет смысл нагрузочного сопротивления, которое может меняться, а и параметры активной цепи, которые не меняются с изменением нагрузки.

Теорема обратимости или взаимности

Справедлива для линейных обратимых цепей:, где все элементы линейны и обратимы по передаче электрической энергии (движения зарядов) в одну и другую сторону.

Теорема Если некоторый источник ЭДС вызывает в какой-то ветви пассивной обратимой цепи некоторый ток, то будучи перемещен в эту вторую ветвь, он вызовет в первой ветви, где раньше был, точно такой же ток. Справедлива и дуальная теорема.

Доказательство

Применим метод контурных токов, будем выбирать контуры так, чтобы первая ветвь входила только в один первый контур, а вторая – только во второй контур, тогда токи этих ветвей будут равны этим контурным токам.

В первой схеме:

Здесь Z _11,22…nn.-контурные сопротивления, Z _12,13,….ki – взаимные сопротивления контуров.

Во второй:

, тогда

Эти два выражения отличаются на и . Если все элементы в цепи обратимы, то . В этом случае и .

Применение теоремы

Теорему целесообразно применять при расчете токов методом наложения, когда надо находить частичные токи от каждого источника в отдельности, рассчитав ток от одного источника напряжения и пропорционально изменяя токи от источников в других ветвях.

Примеры

Применим МЭИН для нахождения тока I5

Рассмотрим схему для нахождения Uxx

На основе 2 закона Кирхгофа Uxx=I4 ^׳ ∙R4+E4. Чтобы найти ток I4 ^׳ можно применить МКТ

Тогда получим, что I4 ^׳ =I1к и I1к∙(R1+R3+R4)+J2∙R1=E1+E3-Е4

Для нахождения Rвх рассмотрим схему

Rвх

,

Теорему взаимности целесообразно применять в методе наложения, когда ищутся частичные токи от отдельных источников. Найдя ток от одной ЕДС во всех ветвях можно сразу сказать, что другие ЕДС вызовут в этой ветви токи пропорциональные их отношению.

, тогда

Колебательные контуры и

Резонансы в электрических цепях