Розрахунок складного лінійного кола постійного струму

 

1.1. Мета й призначення роботи: закріплення знань, отриманих на лекціях і практичних заняттях, шляхом застосування їх до розрахунку конкретного електричного кола. У роботі використаються методи контурних струмів і вузлових потенціалів, а також метод еквівалентного генератора. Виробляється перевірка балансу потужностей.

 

1.2.Зміст роботи:

1.2.1. Для заданої схеми (табл.1.1) скласти систему незалежних рівнянь за законами Кірхгофа (вирішувати цю систему непотрібно).

1.2.2. Скласти систему рівнянь по методу контурних струмів і записати її в матричній формі. Вирішити цю систему рівнянь на ЕОМ (роздруківку результатів обчислень вклеїти в роботу). Знайти струми галузей через контурні струми.

1.2.3. Скласти систему рівнянь по методу вузлових потенціалів і записати її в матричній формі. Вирішити цю систему на ЕОМ. Знайти струми галузей за узагальненим законом Ома.

1.2.4. Скласти баланс потужностей для вихідної схеми.

1.2.5. Визначити показання вольтметра.

1.2.6. Знайти струм другої галузі, що містить R ₂, E ₂, методом еквівалентного генератора.

1.2.7. Розрахувати й побудувати потенційну діаграму для будь-якого контуру.

 

1.3. Вихідні дані:

У табл.1.2 наведені 29 варіантів розрахункового електричного кола, кожний студент виконує індивідуальний варіант завдання. Числові значення елементів схеми представлені в табл.1.2 і вибираються відповідно до останньої цифри номера групи. Наприклад, для групи 273 – варіант №3. Для груп 241-244 варіант вибирається відповідно до суми цифр у номері групи; наприклад, для групи 244 номер варіанта буде 2 + 4 + 4 = 10.

Номер схеми n (див. табл. 1.1) відповідає порядковому номеру, під яким прізвище студента записане в груповому журналі.

Таблиця 1.1

Номер варіанта

Числові значення параметрів елементів схем

R 1

R 2

R 3

R 4

R 5

R 6

R 7

E 1

E 2

E 3

E 4

E 5

E 6

E 7

І 1

І 2

Ом

В

А

 

Таблиця 1.2.

n	Схема	n	Схема

 

1.4. Методичні вказівки:

1.4.1. При розрахунку методом контурних струмів рекомендуються струми джерел струму І ₁ і І ₂ замикати по найкоротших шляхах і розглядати їх як контурні.

1.4.2. При виконанні п. 6 завдання ЕРС еквівалентного генератора E _Е приймається рівною напрузі холостого ходу U ₂₀ на затискачах розімкнутої другої галузі. При цьому розрахунок струмів у схемі, що утворилася в результаті розриву другої галузі, найбільш доцільно виконувати методом вузлових потенціалів.

1.4.3. При виконанні п. 4 завдання вольтметр розглядається як ідеальний (R _В= ∞).

 

1.5. Приклад виконання завдання 1:

Вихідні дані: Строчка даних 4, схема 7: R 1 = 10 Ом; R 2 = 6 Ом; R 3 = 8 Ом; R 4 = 7 Ом; R 5 = 15 Ом; R 6 = 5 Ом; R 7 = 4 Ом; E 1 = 30 В; E 2 = 10 В; E 3 = 15 В; E 4 = 40 В; E 5 = 20 В; E 6 = 20 В; E 7 = 10 В; J 1 = 2 A; J 2 = 8 A.   Для вихідної схеми вкажемо напрямки всіх струмів та визначимося з контурними струмами та вузлами.   Складемо граф для вихідної схеми: III II I Визначимося з кількістю рівнянь, які потрібно скласти для кожного з методів розв’язання.   Кількість віток в   Кількість вузлів в системі y   Кількість незалежних контурів к=(в-у+1)   Кількість рівнянь за методом рівнянь станів NМРС=в   Кількість рівнянь за І законом Кірхгофа NI З.К.=у-1   Кількість рівнянь за ІІ законом Кірхгофа NIІ З.К.= NМРС -NI З.К.   Кількість рівнянь за методом контурних струмів NМКС=к   Кількість невідомих за методом вузлових потенціалів NМУП=у-1<в     Перший закон Кірхгофа застосовується до вузлів і формулюється таким чином: алгебраїчна сума струмів у вузлі дорівнює нулю. . Додатними записуються струми, що направлені від вузла, від’ємними – ті, що направлені до вузла. Слід зауважити, що потрібно враховувати струм джерела якщо воно з’єднано з вузлом. Другий закон Кірхгофа застосовується до контурів електричного ланцюга та формулюється таким чином: у будь-якому контурі, алгебраїчна сума напруг на затисках віток, що входять до цього контуру дорівнює нулю. , або . Додатними записуються напруги та струми, напрямок яких співпадає з напрямком довільно вибраним напрямком обходу контуру.   1. Складемо систему рівнянь за законами Кірхгофа:   2. Запроваджуючи поняття контурних струмів, струми віток визначають як алгебраїчну суму оточуючих кожну задану вітку. Додатними записуються контурні струми, напрямок яких співпадає з напрямком струмів віток. Визначимо струми у вітках через контурні струми: Запишемо систему рівнянь за методом контурних струмів у загальному вигляді: В матричному вигляді, ця система має такий вигляд: , де , , . Елементи головної діагоналі матриці [ R ] – повні (власні) опори відповідних контурів. Повним опором контуру будемо називати суму опорів даного контуру. Елементи, що лежать поза головною діагоналлю () – загальні опори для і -го та j -го контурів. Загальні опори записуємо зі знаком “+”, якщо контурні струми суміжних контурів орієнтовані згідно. Якщо суміжні контури не мають загальних опорів, відповідний опір записуємо як нуль. Слід зауважити, що якщо коло містить вітки з джерелом струму, то в цьому випадку ми вважаємо, що кожна вітка з джерелом струму входить до складу деякого контуру, який містить в собі інші вітки з джерелом ЕРС та опорів. При цьому, контурні струми даних контурів вважаються наперед відомими, та рівними струму джерела. Рівняння за методом контурних струмів в цьому випадку складають тільки для контурів з невідомими контурними струмами, але при запису слід враховувати усі контурні струми, як відомі, так і невідомі. Складемо систему рівнянь за методом контурних струмів. Підставимо в отриману систему рівнянь початкові дані. У матричній формі, ця система рівнянь має такий вигляд: Для розв’язку цієї системи застосуємо метод Крамера. Знайдемо контурні струми. ; ; . Струми в вітках знаходимо через контурні струми. Перевірити отримані результати можна шляхом підстановки значень до рівнянь, отриманих за ІІ-м законом Кірхгофа. Як можна побачити з перевірки, загальна похибка в розв’язку за методом контурних струмів не перевищує 0,01. Ця похибка виникла як результат округлення при розрахунку системи рівнянь.   3. У методі контурних струмів, ми вважали первісними невідомими контурні струми, а в методі вузлових потенціалів, за невідомі беруться потенціали вузлів ланцюга. Струми у вітках можуть бути знайдені через потенціали вузлів завдяки закону Ома. В матричному вигляді, система рівнянь має такий вигляд: , де [ G ] – квадратна матриця вузлових провідностей. Відомо, що провідність G – величина, обернена опору. . Елементи головної діагоналі матриці [ G ] – узята зі знаком “+” сума провідностей усіх віток, приєднаних до даного вузла (власна провідність). Елементи, що лежать поза головною діагоналлю (Gij, i≠j) – узята зі знаком “–” сума провідностей віток, що з’єднують між собою вузли i та j (загальна провідність). Права частина кожного рівняння, J дорівнює алгебраїчній сумі добутку ЕРС джерела та провідності кожної вітки, що приєднана до даного вузла. Знак “+” – якщо ЕРС направлена до вузла, що розглядається, та “–”, якщо від вузла. Для складання системи рівнянь за методом вузлових потенціалів, один з вузлів необхідно заземлити. Заземлимо вузол 1: φ 1=0. Тоді φ 2=-Е3=-15 В. Складемо систему рівнянь. Підставляючи початкові дані, отримуємо: В матричній формі ця система має такий вигляд: . Розв’яжемо її за допомогою метода Крамера. Знайдемо потенціали вузлів 3 та 4: В; В. Струми в гілках знаходимо згідно закону Ома. А; А; А; А; А; А, згідно з I-м законом Кірхгофа. Перевірку метода вузлових потенціалів виконують за І-м законом Кірхгофа. Як видно з останньої системи рівнянь, отримані данні відповідають рівнянню за І-м законом Кірхгофа.   4. Баланс потужності – наслідок застосування закону збереження енергії для електричних ланцюгів. Для розрахунку балансу потужності необхідно знати напругу на джерелах струму. В. В. Знайдемо потужність джерела та споживача енергії. Вт; Вт. Як можна побачити, Рдж ≈ Рсп, тобто баланс потужностей виконується.   5. Знайдемо показники вольтметру як різницю потенціалів між точками його підключення. В.   6. Метод еквівалентного генератору використовується тоді, коли потрібно знайти струм в одній заданій вітці. Використаємо цей метод для розрахунку току І 2. Умовно прибираємо з кола вітку, що містить R 2, E 2. Струм І 2 можна знайти за такою формулою: , де – напруга – холостого ходу на затисках розімкненої вітки. . Розв’яжемо отримане коло за допомогою метода вузлових потенціалів. Заземлимо вузол 1: φ 1=0. Тоді φ 2=-Е3=-15 В. Складемо систему рівнянь. Підставляючи початкові дані, отримуємо: В матричній формі ця система має такий вигляд: . Розв’яжемо її за допомогою метода Крамера. Знайдемо потенціали вузлів 3 та 4: В; В. В. Потрібно знайти R екв. Для цього необхідно джерела ЕРС закоротити, вітки з джерелами струму розімкнути. Ом. Знаходимо значення току І 2. А. 7. Для побудови потенційної діаграми, необхідно обійти обраний контур та визначити потенціал кожної точки. Обходимо контур 1-2-3-4-1: Заземлимо вузол 1: φ 1=0; В; В; . Перевіримо точність розрахунків: В, ≈ 0 За результатами розрахунків, побудуємо потенційну діаграму.

Завдання 2.