Програма курсу “теоретичні основи електротехніки” (частина і)

ПРОГРАМА КУРСУ “ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ” (ЧАСТИНА І)

1. Електричні кола постійного струму.

1.1. Елементарні електричні заряди і електромагнітне поле як особливий вид матерії.

1.2. Електростатичне поле. Напруженість поля.

1.3. Зв’язок зарядів тіл з їх електричним полем. Теорема Гаусса. Постулат Максвелла.

1.4. Електрична напруга. Потенціал, різниця потенціалів. Електрорушійна сила.

1.5. Електричний струм і принцип його неперервності.

1.6. Опір провідника. Питомий опір. Провідність. Питома провідність.

1.7. Енергія та потужність в електричному колі.

1.8. Провідники, напівпровідники та діелектрики.

1.9. Елементи електричних кіл.

1.10. Основні закони електричних кіл.

1.11. Еквівалентне перетворення опорів. Послідовне, паралельне та змішане сполучення резисторів. Взаємне еквівалентне перетворення резистивних ділянок, сполучених трикутником та зіркою.

1.12. Методи розрахунку кіл постійного струму. Методи рівнянь Кірхгофа, контурних струмів, вузлових напруг, накладення, еквівалентного генератора. Еквівалентні перетворення активних ділянок кіл.

1.13. Пересилання електроенергії постійного струму по двопровідній лінії.

1.14. Нелінійні кола постійного струму. Загальні визначення. Статичний та динамічний опори нелінійних елементів. Графоаналітичний метод розрахунку нелінійних кіл. Аналітичний метод розрахунку нелінійних кіл.

 

1. Електрична ємність.

2.1. Електрична ємність тіл.

2.2. Конденсатори. Струм конденсатора. Енергія електричного поля.

2.3. Послідовне і паралельне з’єднання конденсаторів.

 

1. Магнітні кола. Індуктивність. Взаємна індуктивність.

3.1. Основні фізичні величини магнітного поля. Магнітна індукція (В). Магнітний потік (Ф). Намагніченість речовини (J). Напруженість магнітного поля (Н). Магнітна проникність (μ).

3.2. Закон повного струму.

3.3. Феромагнітні матеріали. Деякі властивості феромагнітних матеріалів. Класифікація феромагнітних матеріалів.

3.4. Основні закони магнітних кіл. Розрахунок магнітного кола.

3.5. Закон електромагнітної індукції. Правило Ленца.

3.6. Котушка індуктивності. Потокозчеплення. ЕРС самоіндукції.

3.7. Індуктивно зв’язані котушки.

 

1. Електричні кола змінного синусоїдального струму.

4.1. Генерування синусоїдальної ЕРС. Миттєві, амплітудні, діючі та середні значення ЕРС, напруг та струмів.

4.2. Векторне зображення синусоїдальних величин. Векторні діаграми.

4.3. Резистивний, індуктивний та ємнісний опори в колі синусоїдального струму.

4.4. Послідовне з’єднання резистивного, індуктивного та ємнісного опорів в колі синусоїдального струму. Закон Ома в класичній формі. Трикутник опорів. Коефіцієнт потужності .

4.5. Потужність в колі послідовного з’єднання резистивного і реактивного опорів.

4.6. Паралельне з’єднання приймачів у колі змінного струму.

4.7. Мішане сполучення приймачів.

4.8. Резонанс в електричних колах. Резонанс напруг. Резонанс струмів.

4.9. Символічний метод розрахунку синусоїдального струму. Деякі положення комплексного обчислення. Символічне (комплексне) відображення синусоїдних величин. Закони Ома та Кірхгофа в комплексній формі. Комплексні опори та провідності. Методи розрахунку електричних кіл змінного струму. Кола з взаємоіндуктивно зв’язаними котушками.

 

ЕЛЕКТРИЧНІ КОЛА ПОСТІЙНОГО СТРУМУ

Електрична міцність деяких ізоляційних матеріалів

Матеріал	Е пр, кВ/см	Матеріал	Е пр, кВ/см
Слюда	800-14500	Дерево	25-50
Гума м’яка	150-250	Олія трансформаторна	160-200
Картон	190-260
Порцеляна	150-200	Повітря	20-30

 

Елементи електричних кіл

Сукупність пристроїв, що утворюють шляхи для електричного струму, електромагнітні процеси в яких можна описати за допомогою понять ЕРС, струму, напруги та параметрів окремих ділянок (опорів), називають електрич­ним колом. Схема електричного кола показана на рис. 1.21.

Джерелами електричної енергії є пристрої, в яких механічна, теплова, хімічна, ядерна та інші види енергії перетворюються на електричну. Такими є електричні генератори, гальванічні елементи, акумулятори, термоелементи тощо.

Приймачами електроенергії є пристрої, в яких електрична енергія пере­творюється на інші види енергії: механічну (в електродвигунах), теплову (в електричних печах і нагрівальних пристроях), хімічну (у пристроях хімічної технології), акустичну (в радіоприймачах), світлову (в електричних лампах) тощо.

Найпростіші електричні явища відбуваються в колах постійного струму, в яких у загальному випадку проходять електричні струми провідності (в мета­лах та електролітах) та переносу (наприклад, в електронних лампах). ЕРC, напруги та струми в колах постійного струму будемо позначати великими літе­рами Е, U, І.

Джерело ЕРС. На рис. 1.22, а позначене дже­рело ЕРС Е з внутрішнім опором r ₀. Таке джерело називають реальним. За­лежність напруги на його клемах від струму навантаження називається зовнішньою характеристикою джерела (рис. 1.22, б):

(1.48)

При незмінній Е від струму напруга U на клемах джерела буде менша від Е на значення спаду напруги (D U = r ₀ I) на внутрішньому опорі. У неробочому режимі, коли опір навантаження вимкнений (R _H ®∞), I = 0, а U = Е; в режимі короткого замикання, коли опір навантаження дорівнює нулеві (R _H = 0), на­пруга U = 0, і струм значно зросте й буде дорівнювати струму короткого за­микання: I = І _к = Е / r ₀.

Якщо внутрішній опір джерела дуже малий і ним можна нехтувати (r ₀ 0), то таке дже­рело називається ідеальним джерелом електроенергії. Напруга на його клемах не залежить від струму навантаження і завжди дорівнює Е. Зовнішня характеристика такого джерела показана на рис. 1.23, б.

Ця характеристика від­повідає джерелам електроенергії дуже великої потужності (теоретично нескінченно великої). Цей режим відзначається також і у реальних джерелах електроенергії (скінченої потужності) за наявності в них автоматичних регуляторів напруги, які підтримують напругу на клемах генератора (чи на клемах споживача) незмінною під час зміни навантаження у широких межах. Зовнішня характеристика таких генераторів приблизно виглядає так, як показано на рис. 1.23, в. Тут Е, за рахунок автоматичного регулювання, зростає на величину DU при збільшенні I, і величина U практично залишається постійною.

Помножимо ліву і праву сторони рівняння (1.48) на значення струму I, одержимо:

(1.49)

в (1.49) компонента D Р ₀= r ₀ I ² – це потужність, яка витрачається на внутріш­ньому опорі джерела електроенергії; компонента Р = UI – та частина потуж­ності, яка передається зовнішньому споживачу R _H. Отже, значення ЕІ із закону збереження балансу потужностей є потужністю джерела електроенергії – потужністю генератора:

(1.50)

У формулі (1.50) Е та I на схемі мають однакове спряму­вання. Якщо спрямування Е та I різні, то потужність джерела буде Р_Г = – ЕІ.

Отже, під час визначення P потужності в джерелах електричної енергії необхідно враховувати умовно-додатні напрями струмів (рис. 1.24). Якщо спрямування ЕРС і струму збіжні, то умовно вважають, що джерело ЕРС пра­цює в режимі генератора, в протилежному випадку – в режимі споживача. Дійсний режим роботи k -го джерела ЕРС може бути визначений після підставляння числових значень струмів І_k та ЕРС Е_k з врахуванням їх знаків.

В результаті числового розрахунку, якщо Р _Г > 0 – то джерело електро­енергії працює в режимі генератора – віддає електричну енергію в зовнішнє коло і, якщо P _Г< 0 – джерело працює в режимі приймача – споживає електрич­ну енергію.

Двополюсник. Частина електричного кола з двома зовніш­німи затискачами (по­люсами), якими вона від’єднується до елек­тричної схеми, назива­ється двополюсником. Двополюсники, які не мають джерел електричної енергії, називають пасивними (рис. 1.25, а), а двополюсники, які мають джерела енергії, – активними (рис. 1.25, б).

Крім двополюсників, у електричних схемах зустрічаються чотириполюс­ники та багатополюсники.

Чотириполюсник – це елемент електричного кола (чи схема), яка має чотири затискачі (полюси), якими вмикається до електричного кола (наприк­лад, однофазний трансформатор, двопровідна лінія пересилання електричної енергії тощо (рис. 1.25, е)).

Багатополюсник – це елемент чи, в загальному випадку, частина схеми (підсхема), яка має n полюсів, якими вмикається до електричної схеми (на­приклад, багатообвитковий трансформатор, багатополюсні електричні схеми тощо) (рис. 1.25, г).

Вузол – це точка в електричному колі, в якій сходяться три або більше вітки. Кількість вузлів у електричному колі позначають літерою q.

Вітка в електричному колі – це послідовне сполучення елементів (ЕРС, резисторів чи інших споживачів) між двома вузлами. У вітці завжди протікає тільки один струм. Важливо знати, скільки є віток в електричній схемі, отже, і скільки в схемі є струмів. Кількість віток у схемі (електричному колі) позна­чають літерою р.

Замкнений контур в електричному колі – це замкнений шлях, який проходить по декількох вітках (двох або більше). Кількість замкнених контурів в електричних колах (схемах) позначають літерою n. Новий контур врахову­ється, якщо у нього входить хоча б одна вітка, яка не увійшла в інші контури.

Між цими трьома величинами (вузол, вітка, замкнений контур) для будь-якого електричного кола існує співвідношення:

(1.51)

Справедливість рівності (1.51) очевидна для кола, яке складається з трьох віток і має два вузли (рис. 1.26).

Приєднуючи до цього кола нову вітку між двома вузлами або між вузлом і довільною точкою кола, чи, нарешті, між довільними точками кола, ми збіль­шуємо кількість незалежних контурів (n) на одиницю. Значення р – (q – 1) теж збільшується на одиницю. Отже, для всіх схем (рис. 1.26) рівність (1.51) є спра­ведлива, звідси випливає її справедливість для будь-якого складного кола.

Метод перетворення

Метод перетворення застосовується для розрахунку електричних кіл з одним джерелом електричної енергії.

Розраховують струми у вітках такої схеми поступовим згор­танням схеми, аж поки не одер­жують найпростішу схему послі­довного сполучення ЕРС Е з внутрішнім опором r ₀ і еквіва­лентним опором всієї схеми r _E (рис. 1.37).

Струм джерела енергії визначається за законом Ома згідно з (1.58): , а струм k -ї вітки (k -го приймача електроенергії) буде дорівнювати: , де U _к- напруга між вузлами, до яких приєднана k -та вітка; r _k – опір k -ї вітки.

Проілюструємо цей метод на прикладі складної електричної схеми з одним джерелом електричної енергії.

Приклад 1.1. Визначити струм у всіх вітках мостової схеми (рис. 1.38).

r ₁ = 8 Ом; r ₂ = 44 Ом; r ₃= 120 Ом, r ₄ = 20 Ом, r ₅ = 60 Ом, r ₆ = 8 Ом; E =120 В.

Задачу розв'яжемо методом перетворення.

Замінимо один із трикутників схеми, наприклад ВСD, еквівалентною зір­кою опорами r _B, r _C, r _D (рис. 1.38, б). Для цього використаємо формули (1.71).

Еквівалентний опір ділянки кола АО (рис. 1.38, в) згідно з (1.69) визнача­ється як:

Загальний опір схеми r _E (рис. 1.38, г) дорівнює:

Згідно із законом Ома для повного електричного кола (1.58) струм у вітці джерела ЕРС буде:

За схемою (рис. 1.38, в) визначимо спади напруг на опорах:

Струми в опорах r ₁ і r ₂ визначаються як:

;

Визначимо напругу на опорах r ₃, r ₄, r ₅. Із схеми (рис. 1.38, б) за другим законом Кірхгофа (вигляду S u, е=0) маємо:

звідси

U _BC = U _B + U _C = 38,4 + 24 = 62,4 В;

U _DC = U _D + U _C = 28,4 + 24 = 52,8 В;

U _BD = U _B + U _D = 38,4 – 28,8 = 9,6 В;

де

U _B = r _B× I ₁ = 12 × 3,2 = 38,4 В;

U _D = r _D× I ₁ = 36 × 0,8 = 28,8 В;

Струми в опорах r ₃, r ₄, r ₅ будуть дорівнювати:

Перевірка. За першим законом Кірхгофа для вузла С і В маємо:

I ₄ + I ₅ = I ₆ => 3,12 + 0,88 = 4 А; I ₄ + I ₃ = I ₁ => 3,12 + 0,8 = 3,2 А;

За другим законом Кірхгофа для замкненого контуру (рис. 1.38, в):

U _C + U _AD + U ₆ = Е => 24 + 64 + 32 = 120 В.

 

Метод рівнянь Кірхгофа

В цьому методі розглядаються складні електричні кола, особливо такі, в яких діють дві або більше ЕРС, увімкнені у різні вітки схеми. Розв'язання та­ких задач методом перетворення достатньо складне, а в деяких випадках, й неможливе. Пропонований нижче метод рівнянь Кірхгофа дає змогу розв'язувати як завгодно складні електричні схеми без їх трансфігурацій.

Нехай складне коло складається з р віток, має q вузлів (рис. 1.39) і кількість контурів n = р – (q – 1). Як правило, для електричних схем відомі параметри віток – їх опори, та значення і напрямки діючих в схемі ЕРС. Розрахунок буде зводитися до розрахунку значень струмів у вітках схеми, хоча завдання може ставитися й по-іншому.

Оскільки схема має р віток, то невідомих струмів у схемі буде теж p і для їх розрахунку треба скласти p рівнянь.

За першим законом Кірхгофа (S I = 0) можемо скласти q –1 лінійно неза­лежних рівнянь (на одиницю менше ніж вузлів). Застосовуючи другий закон Кірхгофа , можна скласти стільки рівнянь, скільки лінійно незалежних замкнутих контурів (n) має схема. Для незалежності рівнянь або, як кажуть, для незалежності контурів, ці конту­ри необхідно вибирати так, щоб кожен наступний контур відрізнявся від по­передніх, принаймні однією новою віткою. Ця умова є достатньою, але не зав­жди необхідною. Наприклад, якщо розглянути схеми (рис. 1.40) і вибирати контури в такій послідовності, як показано на схемах, то всі вітки для контурів: 3-у схемі (а), 4-у схемі (б) та 5 – у схемі (в) вже увійшли в рівняння попе­редніх контурів, але кількість рівнянь для контурів цих схем ще буде недос­татньою. В таких випадках недостатню кількість рівнянь за другим законом Кірхгофа складають для контурів, всі вітки яких уже увійшли в попередні кон­тури. Отже, критерієм визначення кількості лінійно незалежних контурів є співвідношення n = р – (q – 1).

p=4 q=2 n=3

p=9 q=6 n=4

p=12 q=8 n=5

 

Отже, за законами Кірхгофа можна скласти (q – 1)+(q – 1)+ p – (q –1) = р рівнянь. А це означає, що кількість рівнянь буде дорівнювати кількості невідо­мих струмів (р) у вітках схеми. Розв'язавши сумісно ці рівняння, одержимо числові значення струмів віток схеми.

Послідовність проведення розрахунку така: 1) для заданої електричної схеми визначаємо кількість вузлів (q), віток (р) і контурів (n); 2) вибираємо умовно-додатні напрямки струмів у вітках схеми (довільно); 3) за першим за­коном Кірхгофа складаємо

(q – 1) рівнянь, а за другим законом n рівнянь; реко­мендується для всіх контурів вибирати однакові додатні напрямки їх обходу, наприклад, всі за годинниковою стрілкою (чи проти); 4) сумісно розв'язуємо складену систему рівнянь і одержуємо числові значення струмів віток.

Якщо в результаті розрахунку кола які-небудь струми будуть виражені від'ємними числами, то це означає, що напрям руху додатних зарядів спрямо­вані протилежно вибраним умовно-додатним напрямам струмів цих віток. Напрямлення стрілок струмів цих віток змінювати не треба.

Розрахунок електричних кіл методом рівнянь Кірхгофа є основним. За допомогою цього методу можна розрахувати будь-яке електричне коло. Однак цей метод громіздкий, тому що вимагає розв'язування системи з кількістю рівнянь, що дорівнює кількості віток кола. Всі інші методи, які застосовуються для розрахунку електричних кіл, базуються на законі Ома і законах Кірхгофа.

Баланс потужності в електричному колі. В § 1.9 формулою (1.49) був виражений баланс потужності в електричній схемі, яка складалась з послідов­ного сполучення Е, r ₀ та R ₁₁. Якщо електричне схема має р віток, в кожній вітці є резистивний опір r, джерело ЕРС Е з внутрішнім опором r₀, то баланс потужності в такій схемі визначається виразом:

(1.73)

де Е _К І _К – потужність генератора (джерела електроенергії) k -і вітки; r _0k I _k² – потужність, яка витрачається на внутрішньому опорі самого генератора; r _k I _k² – потужність, яка виділяється в опорі r _к k -ї вітки.

Компоненти Е _k І _k можуть бути як додатними, так і від'ємними. Якщо Е _к І _к>0 то відповідні джерела ЕРС працюють у режимі генераторів, а якщо Е _к І _к<0 – то в режимі приймачів електричної енергії.

Розрахунок складного електричного кола за методом рівнянь Кірхгофа проілюструємо на прикладі.

Приклад 1.2. Розрахувати струми у всіх вітках електричного кола, схема якого

наведена на рис. 1.42. Параметри елементів електричного кола мають такі зна­чення:

Е = 50 В, r ₀₁ = 2 Ом,

r ₁ = 18 Ом, Е ₂ = 20 В, r ₀₂ = 1 Ом,

r ₂ = 9 Ом, r ₃ = 30 Ом, r ₄= 40 Ом,

Е ₅ = 100 В; r ₀₅=2Ом, r ₅ =48 Ом,

r _б=30 Ом, E ₇ = 50 В, r ₀₇ =0, r ₇ = 10 Ом.

1. Визначимо кількість вузлів, віток і контурів: q = 4, р = 1, n = 4.

2. Довільно вибираємо і позначаємо на схемі умовно-додатні напрями струмів у вітках.

3. Складаємо q -1 = 4-1 = 3 рівняння за першим законом Кірхгофа (для вузлів 1, 2, 3), та n =4 рівняння за другим законом Кірхгофа для контурів I-IV, прийнявши додатні напрямки обходу контурів за годинниковою стрілкою:

1. – I ₁– I ₂+ I ₅=0

2. I ₁+ I ₂– I ₃– I ₄=0

3. I ₃+ I ₆+ I ₇=0

4. (r ₁+ r ₁₀) I ₁–(r ₂+ r ₂₀) I _­2­= E ₁– E ₂

5. (r ₂+ r ₂₀) I _­2­+ r ₄ I ₄+(r ₀₅+ r ₅) I _­5­= E ₂– E ₅

6. r ₃ I ₃– r ₄ I ₄– r ₆ I ₆=0

7. r ₆ I ₆–(r ₇+ r ₀₇) I ₇= – E ₇

В систему рівнянь (1...7) підставимо числові значення величин Е, r ₀ та r.

1. – I ₁– I ₂+ I ₅=0

2. I ₁+ I ₂– I ₃– I ₄=0

3. I ₃+ I ₆+ I ₇=0

4. (18+2) I ₁–(9+1) I ₂=50-20

5. (9+1) I ₂+40 I ₄+(48+2) I ₅=20-100

6. 30 I ₃–30 I ₆–40 I ₄=0

7. 30 I ₆–(0+10) I ₇=50

Розв'язавши цю систему рівнянь, одержимо числові значення струмів віток схеми:

I ₁=0,608 А; I ₂ = -1,783 А; I ₃ = -1,090 А; I ₄ =-0,084 A; I ₅ = -1,175А; I ₆ = -0,977А; I ₇ = 2,067 А.

Струми I ₁ та I ₇ (зі знаком "плюс") в електричному колі мають таке спря­мування, яке позначено на схемі, а решта струмів (зі знаком "мінус") мають в елек­тричній схемі протилежне спрямування (напрями стрілок змінювати не треба).

За формулою (1.73) складемо баланс потужностей. Потужність джерел електричної енергії:

Втрати потужності в самих джерелах електроенергії:

Потужність, яка витрачається в опорах віток схеми:

Отже, 216,671 – 6,684 = 208,987 Вт, що дорівнює потужності, яку генера­тори ЕРС виділяють в опорах схеми. Збігання числових даних підтверджує правильність розв'язання задачі.

Метод контурних струмів

Метод рівнянь Кірхгофа, хоча й простий за складанням самої системи рівнянь, але громіздкий за обчислювальною роботою – вимагає розв'язання системи із великої кількості (р) рівнянь. Запропонований Дж. К. Максвеллом метод контурних струмів для розрахунку електричних кіл з постійними параметрами зводиться до роз­в'язання системи тільки з " n " рівнянь. В цьому методі вводяться нові невідомі, контурні струми. Кількість їх дорівнює кількості лінійно незалежних кон­турів схеми (n). Метод контурних струмів більш економічний за обчислю­вальною роботою (має меншу кількість рівнянь), ніж метод рівнянь Кірхгофа.

Виведення основних розрахункових рівнянь наведемо на основі скелет­ної схеми, зображеної на рис. 1.42.

Контурні струми за значенням вибираємо такими, щоби струм в будь-якій вітці схеми визначався алгебричною сумою контурних струмів, які проті­кають через цю вітку. Для схеми рис. 1.42. струми віток будуть такими:

I 1 = I к1, I 2 = I K2, I 3= I k3, …, I 7= I k6– I к1, I 10= I k1– I k2,…

(1.74)

де I _к1, I _K2 ,…, I _k6 – контурні струми.

Розпочинаючи складання рівнянь для кола з п лінійно незалежними конту­рами, задаємось довільно додатними на­прямками контурних струмів у всіх кон­турах, і домовимось за додатний напрям обходу контуру вибирати напрям, який збігається з його контурним струмом.

Для першого контуру запишемо рів­няння за другим законом Кірхгофа ():

r 1 I 1+ r 10 I 10– r 7 I 7= E 11,

(1.75)

де E ₁₁ – сума всіх ЕРС, які входять в перший контур. Визначаючи цю суму, EРС, напрям яких збігається з напрямом обходу контуру, треба брати зі знаком ''плюс", а ті, що не збігається – зі знаком "мінус".

Підставивши (1.74) в (1.75) і звівши подібні члени, одержимо рівняння для першого контуру, виражене через контурні струми:

1) (r 1+ r 10+ r 7) I k1– r 10 I K2– r 7 I k6= E 11

(1.76)

Введемо позначення: r _kk – сума всіх опорів, які входять в к-й контур його називають власним опором k- го контуру; r _km = r _mk – сума всіх опорів у загальній (спільній) вітці k- гой т- гоконтуру, його називають взаємним опором k- го та m- го контурів.

Простежимо послідовність складання рівняння (1.76) безпосередньо за схемою: перший доданок (r ₁+ r ₁₀+ r ₇) I _k1 є сумою спадів напруг на власних опорах першого контуру, які виникають під дією першого контурного струму I _К1; другий доданок (- r ₁₀ I _k2) ураховує спад напруг на спільному опорі першого та другого контурів, і викликаного струмом другого контуру, а знак «мінус» ураховує, що струми I _К2 та I _k1 в опорі r ₁₀спрямовані зустрічне; третій доданок ураховує спад напруг на опорі r ₇, викликаний струмом I _K6­(- r ₇ I _K6)а знак «мінус» ураховує, що струми I _K6 та I _K1 в опорі r ₇ теж напрямлені зустрічне.

Отже, рівняння для останніх контурів схеми (рис. 1.42) можуть бути записані аналогічно рівнянню (1.76):

2) (r 2+ r 11+ r 8+ r 10) I K2– r 10 I K1– r 11 I K3– r 8 I K5= E 22 3) (r 6+ r 7+ r 12) I K6– r 7 I K1– r 12 I K5= E 55 k) ………………………………………………………..

(1.77)

Систему рівнянь (1.76-1.77) можна записати в загальному вигляді для будь-якої схеми, яка має п контурів:

(1.78)

У системі рівнянь (1.78) за додатний напрям обходу к- r o контуру прийнято його контурний струм I _Km, тому складові (r ₁₁ I _K1, r ₂₂ I _K2, …, r _nn I _Kn)матимуть знак "плюс". Якщо всі контурні струми кола напрямлені однаково (за годинниковою стрілкою чи проти, а так рекомендується спрямовувати), то останні складові r _ms I _ks ()в системі рівнянь (1.78) виступатимуть із знаком "мінус", тому що контурний струм I _ks в опорі r_ms завжди буде напрямлений зустрічне контурному струму I _km, напрям якого вибрано за додатний напрям обходу m -го контуру.

Послідовність проведення розрахунку така: 1) для заданої електричної схеми визначаємо q, p, п; 2) вибираємо додатні напрями контурних струмів і записуємо для них систему з п рівнянь (1.78); 3) розв'язуємо цю систему рів­нянь і знаходимо числові значення контурних струмів: I _k1, I _k2,…, I _kn, 4) позна­чаємо умовно додатні напрямки струмів у вітках схеми та знаходимо їх як алгебричну суму контурних струмів, що протікають через цю вітку; 5) переві­ряємо правильність розв'язання задачі за другим законом Кірхгофа для контурів схеми.

Приклад 1.3. Застосування методу контурних струмів для розрахунку струмів у електричному колі з постійними параметрами покажемо на схемі, зображеній на рис. 1.41. Схема має чотири контури (n = 4), а отже, і чотири контурні струми. Додатні напрями контурних струмів за годинниковою стрілкою. Система рівнянь, складених для контурних струмів, згідно із (1.78), буде такою:

1. (r ₁+ r ₀₁+ r ₂+ r ₀₂) I _k1–(r ₂+ r ₀₂) I _k2= E ₁– E ₂

2. (r ₂+ r ₀₂+ r ₄+ r ₅+ r ₀₅) I _k2–(r ₂+ r ₀₂) I _k1– r ₄ I _k3= E ₂– E ₅

3. (r ₃+ r ₆+ r ₄) I _k3– r ₄ I _k2– r ₆ I _k4=0

4. (r ₆+ r ₇+ r ₀₇) I _k4– r ₆ I _k3= – E ₇

Підставимо числові дані величин r ₀, r, E:

1. (18 + 2 + 9 + l) I _kl – (9 + 1) I _k2 = 50 – 20;

2. (9 + 1 + 40 + 48 + 2) I _k2 – (9 + 1) I _k1 – 40 I _k3 = 20 – 100;

3. (39 + 30 + 40) I _k3 – 40 I _k2 – 30 I _k4 = 0;

4. (30 + 50 + 0) I _k4 – 30 I _K3 = – 50.

Розв'язавши цю систему рівнянь відносно значень контурних струмів I _k1… I _k4, отримаємо:

I _k1=0,608 A; I _k2=-1,176 A; I _k3=-1,091 A; I _k4=-2,068 A;

Позначимо додатні напрямки струмів у вітках схеми й визначимо їх значення через контурні струми:

I ₁= I _k1=0,608 A; I ₂= I _k2– I _k1=-1,176–0,608 Ф=-1,784;

I ₃= I _k3=-1,091 А; I ₄= I _k2– I _k3=-1,176–(-1,091)=-0,085 А;

I ₅= I _k2=-1,176А; I ₆= I _k4– I _k3=-2,068–(–1,091)=-0,977 А;

I ₇= – I _k1= –(–2,068)=2,068 A.

Перевірка. За другим законом Кірхгофа () проведемо перевірку для будь-яких контурів, наприклад, для першого та четвертого.

(r ₁+ r ₀₁) I ₁–(r ₂+ r ₀₂₁) I ₂= E ₁– E ₂ і в цифрах:

(18+2) 0,608–(9+1) (-1,784)=50-20, чи 12,16+17,84=30.

R ₆ I ₆-(r ₇+ r ₀₇) I ₇=- E ₇ і в цифрах:

-0,977 30-2,068 (10+0)=-50 чи -50,011=-50

Метод вузлових напруг

За методом вузлових напруг кількість рівнянь можна скоротити до (q – 1). Отже, метод вузлових напруг (його ще називають метод вузлових по­тенціалів) найраціональніше використовувати для електричних схем з малою кількістю вузлів, а метод контурних струмів – з малою кількістю контурів (чи віток).

Покажемо суть цього методу (рис. 1.43, a). Уявно один вузол схеми завжди можна заземлити, від цього розподіл струмів у вітках не зміниться. Потенціал заземленого вузла стане дорівнювати нулеві. Заземливши четвер­тий вузол, отримаємо: . Тоді напруги між вузлами будуть дорів­нювати:

1-4:

2-4:

3-4:

Як видно з останніх виразів, вузлові напруги (U_B1, U_B2, U_B3) дорівнюють відповідним потенціалам вузлів (), тому пропонований спосіб розра­хунку ще називають методом вузлових потенціалів.

Виразимо струми віток схеми через вузлові напруги. Для цього виділимо одну вітку схеми, наприклад третю (рис. 1.43, б), і виразимо її струм I₃ через відповідні напруги. За другим законом Кірхгора ()для замкненого кон­туру маємо:

, чи , звідкіля

Аналогічно, обходячи контури за напрямом струмів віток і по вузлових напругах, одержимо значення інших струмів:

………..

(1.79)

За першим законом Кірхгофа запишемо рівняння струмів для вузла №1:

I ₁+ I ₂– I ₃+ I ₆=0

В останнє рівняння підставимо значення струмів (1.79), виражених через вузлові напруги:

Після згрупування подібних членів останнє рівняння запишеться так:

	(1.80a)
	(1.80б)
	(1.80в)

Отже, ліва частина рівнянь (1.80) записується так: вузлова напруга вузла U_Bm множиться на суму провідностей віток, які приєднані до т- говузла, мінус вузлова напруга сусіднього вузла (U _Bk)помноженої на суму провідностей віток, що безпосередньо з'єднують m -й та k- йвузли, мінус U_B(k+1) і т.д.

Права частина кожного із рівнянь (1.80) дорівнює алгебричній сумі добутків ЕРС кожної вітки, приєднаної до розглянутого вузла, на її провідність. Добуток Eg записується з додатним знаком, якщо ЕРС напрямлена до вузла, для якого записується рівняння, та з від'ємним – якщо ЕРС напрямлена від вузла.

Введемо такі позначення:

G₁₁=g₁+ g₂+ g₃+ g₆= ;

G₂₂=g₃+ g₄+ g₅+ g₆= ;

G₃₃=g₄+ g₅+ g₇= – це сума провідностей віток, приєднаних відповідно до 1-го, 2-го та 3-го вузлів.

, – це сума провідностей віток, які з’єднують 1 і 2 та 2 і 3 вузли. Тоді рівняння (1.80) з врахуванням наведених позначень запишуться так:

(1.80)

Або в загальному вигляді для схеми, яка має g вузлів, рівнянь буде (q – 1):

(1.81)

Кількість невідомих у методі вузлових напруг дорівнює кількості рів­нянь, які треба скласти для схеми за першим законом Кірхгофа (q -1). Метод вузлових напруг, як і метод контурних струмів, є одним із основних розрахункових прийомів. В тому випадку, коли (q -1) < n, цей метод є більш економічний, ніж метод контурних струмів, n – кількість незалежних контурів схеми.

Послідовність проведення розрахунку. Для схеми визначаємо q, р, n. Один із вузлів схеми подумки заземлюємо (нехай його потенціал дорівнює нулеві). Позначимо вузлові напруги на схемі, їх будемо мати (q – 1). Згідно з (1.81) складаємо систему (q - 1) рівнянь, відносно вузлових напруг U _B1, U _B2..., U _B(q-1). Розв’язавши цю систему рівнянь, одержуємо числові значення вузлових напруг U _B1, U _B2, U _B(q-1).Позначаємо струми у вітках і за законом Ома аналогічно (1.79), обходимо контури за напрямом струму вітки й за вузловими напругами – визначаємо струми віток схеми.